Question

dy/dx=2xy/x^2+y的通解

Answer 1

dy/dx = 2xy/(x^2+y) 

y＝Ce^(x^2)

进行分离变量可得：dy/y＝2xdx

同时两边积分为：lny＝x^2＋lnC

所以通解是y＝Ce^(x^2)

定义

对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解或者部分解的统一形式，称为通解（general solution）。

对一个微分方程而言，它的解会包括一些常数，对于n阶微分方程，它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

dy/dx = 2xy/(x^2+y) , dx/dy = (x^2+y)/(2xy) = x/(2y) + 1/(2x),
即 dx/dy - x/(2y) = 1/(2x) 怀疑题目错误， 请附印刷版题目原图。

追问

无错，该题用了反函数变换，y看做自变量，x看成未知函数，作为伯努利方程来解，但是我看不懂它变换以后是dy/dx=x^2+y/2xy,为什么右边变了，左边不变

追答

想到过， 也太复杂了。
dx/dy - x/(2y) = 1/(2x) (1)
是 x 对 y 的伯努利方程。
令 x^2 = z, 则 x = z^(1/2),
dx/dy = dz^(1/2)/du = (1/2)z^(-1/2)dz/dy,
代入 (1), (1/2)z^(-1/2)dz/dy - z^(1/2)/(2y) = 1/[2z^(1/2)]
即 dz/dy - z/y = 1 化为 z 对y 的一阶线性微分方程
z = e^(∫dy/y)[∫1· e^(-∫dy/y)dy + C] = y[∫(1/y)dy + C] = y(lny + C),
即通解是 x^2 = y(C+lny)