Question

高二数学 数学归纳法 如何正确运用放缩法证明不等式？求教~

Answer 1

所谓放缩法，要证明不等式A>B成立，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A<C，后证C<B，这种证法便称为放缩法，常用的放缩技巧有：（1）舍掉（或加进）一些项；（2）在分式中放大或缩小分子或分母；（3）应用基本不等式进行放缩
放缩法的理论依据主要有：1.不等式的传递性；2.等量加不等量为不等量；3.同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较。
放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法
总体来说，放缩的关键是“凑”，当然不是乱凑，而是有目的性的，这个目的性的意思是说你要找出你放缩的模型，事实上，要造出一个不等式很容易，找一个等式删去一些东西便不等了，而你要做的事情就是尽量把原来这个等式找出来，如果你真的很热爱数学而且愿意钻研，那我倒建议你去尽量扩大自己的数学面，尤其是多了解一些著名的等式（如果你有时间也不妨参考一些大学书籍，我曾经读高中的时候也是这么做的），当你了解了更多的数学知识后，你再回过头去看那些稀奇古怪的不等式，那么你很可能会站在一个更高的角度去思考，这样会非常有利于你想出那个不等式背后真正隐藏着的“恒等式”。
当然，我说的上面那些东西是针对数列不等式（这是最难的），在这之前，你要掌握一些常用的不等式及一些简单的放缩方法，当然，诸如柯西不等式这样的不等式你也尽量掌握，对解题有益，总之，关键在于你要始终盯着目标，向目标的形式进行“逼近”，这是放缩法运用的关键，只是遗憾的是它没有固定的套路。所以解这类题有时也需要一定的“运气”。但多练练，你自然会找到感觉。

Answer 2

由√(n-1)+√n＜2√n，两边倒过来化简得：1/√n＜2/[√n+√(n-1)]=2×[√n-√(n-1)]
故原证不等式可化为：
1+1/√2+1/√3+...+1/√n＜2×[√n-√(n-1)+√(n-1)-√(n-2)+...+√2-1=2×(√n-1)
故即证明：2×(√n-1)＜√2(√(2n+1)-1)
下面证明：消去个√2有：√2×(√n-1)＜√(2n+1)-1
将左边张开，把右边的1移过去得：√2n-√2+1＜√(2n+1)
进一步化简得：-√2+1＜√(2n+1)-√2n
因为-√2+1＜0,0＜√(2n+1)-√2n，所以-√2+1＜√(2n+1)-√2n成立
故原所证明不等式成立，证毕
不懂可追问，欢迎采纳

Answer 3

所谓放缩法，要证明不等式A>B成立，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A<C，后证C<B，这种证法便称为放缩法，常用的放缩技巧有：（1）舍掉（或加进）一些项；（2）在分式中放大或缩小分子或分母；（3）应用基本不等式进行放缩
放缩法的理论依据主要有：1.不等式的传递性；2.等量加不等量为不等量；3.同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较。
放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法
总体来说，放缩的关键是“凑”，当然不是乱凑，而是有目的性的，这个目的性的意思是说你要找出你放缩的模型，事实上，要造出一个不等式很容易，找一个等式删去一些东西便不等了，而你要做的事情就是尽量把原来这个等式找出来，如果你真的很热爱数学而且愿意钻研，那我倒建议你去尽量扩大自己的数学面，尤其是多了解一些著名的等式（如果你有时间也不妨参考一些大学书籍，我曾经读高中的时候也是这么做的），当你了解了更多的数学知识后，你再回过头去看那些稀奇古怪的不等式，那么你很可能会站在一个更高的角度去思考，这样会非常有利于你想出那个不等式背后真正隐藏着的“恒等式”。
当然，我说的上面那些东西是针对数列不等式（这是最难的），在这之前，你要掌握一些常用的不等式及一些简单的放缩方法，当然，诸如柯西不等式这样的不等式你也尽量掌握，对解题有益，总之，关键在于你要始终盯着目标，向目标的形式进行“逼近”，这是放缩法运用的关键，只是遗憾的是它没有固定的套路。所以解这类题有时也需要一定的“运气”。但多练练，你自然会找到感觉。