已知A是n阶正交矩阵，A*是A的伴随矩阵，证明A*是正交矩阵。
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简单计算一下即可，答案如图所示
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A A^t = E
则有 |A A^t|= |A||A^t|=|A|²=|E|=1
即有 |A|²=1
(A^*)^t( A^*)
= (A^*)^t [(A)^t A] ( A^*)
= [(A^*)^t (A)^t] [A A^*]
= [A A^*]^t [A A^*]
= [|A|E]^t |A|E
= |A|E |A|E
= |A|² E
= E
所以 A^*也是正交矩阵。
则有 |A A^t|= |A||A^t|=|A|²=|E|=1
即有 |A|²=1
(A^*)^t( A^*)
= (A^*)^t [(A)^t A] ( A^*)
= [(A^*)^t (A)^t] [A A^*]
= [A A^*]^t [A A^*]
= [|A|E]^t |A|E
= |A|E |A|E
= |A|² E
= E
所以 A^*也是正交矩阵。
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aa^t=a^ta=e,a^(-1)=a^t
|a|^2=1，
|a|=1.-1
a*=|a|a^(-1)=a^t或者-a^t
a*=a^t时，
a*(a*)^t=a^t(a^t)^t=a^ta=e
a*=-a^t时，
a*(a*)^t=(-a^t)(-a*)^t=(-a^t)(-a)=a^ta=e
所以得证a*也为正交矩阵
|a|^2=1，
|a|=1.-1
a*=|a|a^(-1)=a^t或者-a^t
a*=a^t时，
a*(a*)^t=a^t(a^t)^t=a^ta=e
a*=-a^t时，
a*(a*)^t=(-a^t)(-a*)^t=(-a^t)(-a)=a^ta=e
所以得证a*也为正交矩阵
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