Question

在△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上，BD为圆的直径。

Answer 1

已知：如题设。
（1）要证AC为圆O的切线，只要证明OE垂直AC即可。
连接OE和BE，则，OE=OB
(同为圆O的半径）
故，角OBE=角OEB，但，OBE角=角CBE
(题设）
故，角OEB=角CBE
(等量置换）
故，OE//BC
(内错相等）
因，AC垂直BC,
故，OE垂直于AC
所以，AC是圆O的切线，（圆O是△BDE的外接圆）
证毕。
（2）求BC
解：因AC是圆O的切线，E点为切点
（上面已证明过）。
故有：AE^2=AD*AB
(切割线定理）
【实际上，这也可由△ABE～△ADE，对应边成比例得到】
由此得到：AB=AE^2/AD
AB=(6根号2)^2/6=12
BD=AB-AD=12-6=6
OB=BD/2=6/2=3
Rt△AEO～△ACB
（Rt三角形中，角A=角A）
故，AE:EC=AO:OB
EC=AE*OB/AO
=6根号2*3/(6+3)
故，EC=2根号2
因，BE为角ABC的平分线，
故，AE:EC=AB:BC
(角平分线的性质）
BC=AB*EC/AE
=12*2根号2/6根号2
=2*2=4
答：所求BC=4
(长度单位）