Question

已知如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动；

Answer 1

（1）先求PC，再求AP，然后求AQ，再由三角形相似求Q到AC的距离；
（2）作QF⊥AC于点F，先求BC，再用t表示QF，然后得出S的函数解析式；
（3）当DE∥QB时，得四边形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，由线段的对应比例关系求得t，由PQ∥BC，四边形QBED是直角梯形，△AQP∽△ABC，由线段的对应比例关系求t；

解：（1）做QF⊥AC，
∵AC=3，点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，
∴当t=2时，AP=3-2=1；
∵QF⊥AC，BC⊥AC，
∴QF∥BC，

∴△ACB∽△AFQ，

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还有图：

Answer 2

分析：（1）当t=2时，CP=2，则AP=1，根据勾股定理求得BC，再由三角形相似得出点Q到AC的距离；
（2）作QF⊥AC于点F，则△AQF∽△ABC，得出 QFBC=AQAB，又AQ=CP=t，则AP=3-t，则得出S与t的函数关系式S=- 25t
2
+ 65t；
（3）能．①当DE∥QB时，则四边形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，得 AQAC= APAB，即求得t，
②当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形，由△AQP∽△ABC，得 AQAB= APAC，解得t．
★解答
解：（1）∵t=2，∴CP=2，

∵AC=3，∴AP=1，
∵∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴BC=4，
设点Q到AC的距离是h，
∴ h4= 25，
∴h= 85．（2分）
故答案为1； 85；
（2）如图1，作QF⊥AC于点F．
∴△AQF∽△ABC，
∴ QFBC=AQAB，（3分）
又AQ=CP=t，∴AP=3-t，BC= 52-32=4，
∴ QF4= t5，

∴QF= 45t，
∴S= 12（3-t）• 45t，
即S=- 25t
2
+ 65t；（4分）
（3）能．
①如图2，当DE∥QB时．
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形，
此时∠AQP=90°．（5分）
由△APQ∽△ABC，得 AQAC= APAB，
∴ t3= 3-t5，
解得t= 98；（6分）
②如图3，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．（7分）
由△AQP∽△ABC，得 AQAB= APAC，

即 t5= 3-t3．
解得t= 158．（8分）
综上，可知当t= 98或 158时，四边形QBED能成为直角梯形．