Question

小学奥数 （不用方程）

Answer 1

我参加过小学华罗庚奥数杯赛，我给你讲吧！
题目是：
工程队要修一条水渠：如果每天多修8米，可提前4天完工；如果每天少修8米，则延后4天完工。请问这条水渠的长度？
题目的数据是错误的，正确的数据应该是：
如果每天多修8米，可提前3天、3天、4天完工；
如果每天少修8米，需推迟5天、6天、8天完工；——
而不是4天。
如此才能有解。最直观的做法是把水渠长度用面积（速度×天数）来表示，通过对几种情况下面积的比例进行比较，很容易解出这道题。甚至于连X都用不着设。
解分别是：
3天对5天：480米，正常情况下每天修32米，需要15天；
3天对6天：288米，正常情况下每天修24米，需要12天；
4天对8天：384米，正常情况下每天修24米，需要16天；
具体的解法，以3天对5天为例：
如图所示，渠长
=
③+④+⑤+⑦，
每天多修8米，渠长不变，=
④+⑤+⑥
每天少修8米，渠长不变，=
①+②+③+④
容易看出：①+②
=
⑤+⑦
；③+⑦
=
⑥；
⑤
=
⑥
下面来看此种解法的关键点：
①:②
=
2:3
（因为①和②的分界线是人为作出的辅助线，恰好把多5天分为2天和3天）。
②
=
③
（因为①和②的分界线是人为作出的辅助线，②
是3天
）。
⑦
=
8米/天
*
3天
=
24米
（这从图上可以看出来。）
好，由以上式子，可以逐渐代换，最终要先求出
①与⑦的关系：
①+②
=
⑤+⑦
=
⑥+⑦
=
③+⑦+⑦
=
②+⑦+⑦
于是：①
=
2*⑦
=24*2
=48米
于是所有的单元区域都可以算出来：
②
=
③
=
①
*（3/2）=
48
*
（3/2）=72米
⑤
=
⑥
=
③+⑦
=
72
+
24
=96
米
④的宽
=
①/2
=
24
米/天，④的高
=
⑤/8
=
96/8
=
12
天
④
=
24*12
=288
米
于是结果就有了：
正常情况下，每天修24米+8米
=
32米，需要修
12天+3天=15天，渠总长
32*15
=480米。
验算一下：
每天多修8米，480/（32+8）=12天，少修3天；
每天少修8米，480/（32-8）=20天，多修5天。
直接加也可以得出渠长：
渠长
=
③+④+⑤+⑦
=
72+288+96+24
=
480
米
延伸思考：
（一）、解题方法的扩展：
很显然，按照题目的设计思路，不改变其它条件，只改变多几天和少几天，那么，解的方法是一样的，
①
=
2*⑦
这个结论是不变的，改变的只是
⑦
的具体数值以及
①:②
的比例。
①
=
2*⑦
这个式子的物理意义是什么呢？
——
我实在是想不透！
数学变换的所有过程是不是都有直观意义？兴许追究数学变换过程中的意义不一定都是有意义的。
（二）、题目本身的扩展：
很显然这是一个二元一次方程的最简单的例子，水渠长度不变情况下，修渠速度与修理天数成反比，即：
修理天数
y
=
f（x）=
1/x
=
x^(-1)
（x：修渠速度，单位米/天）
由于在小学阶段，天数不适合用小数，因此无法以此为基础绘制
y
=
1/x
的曲线图，而且这两个参数的取值范围也显得很窄。
所以，如果要让基础较好的学生进一步理解函数的概念，这个题目应适当地调整，应当使
x
、y
的取值范围更宽泛。具体的调整方法，让出这道题的教育专家们去搞吧。