Question

证明:当x>1时,(x-1)/x<lnx<x-1，麻烦了

Answer 1

证明：f(x)=xlnx-(x-1),f'(x)=lnx>0(因为x>1)f(x)是增函数，又f(1)=0,所以f（x)>f(1)=0,x>1.有,(x-1)/x<lnx，同理令g（x）=x-1-lnx
,g'(x)=1-1/x>0(因为x>1),g(x)是增函数,g(1)=0,所以g（x)>g(1)=0,x>1,有lnx<x-1,所以，当x>1时,(x-1)/x<lnx<x-1

Answer 2

设y=x-1-lnx
y'=1-1/x=(x-1)/x>0
说明y单增
x从正方向趋近1，y>0
所以y>0,即lnx<x-1
再设y=lnx-(x-1)/x
y'=1/x-1/x2=(x-1)/x2>0
说明y单增
x从正方向趋近1，y>0
所以y>0,即lnx>(x-1)/x
所以x>1时,(x-1)/x<lnx<x-1