Question

级数的一道题求解

Answer 1

因为lim(n->∞) ln(1/an)/lnn=r所以对∀ε>0，存在正整数N，使对所有n>N，有|ln(1/an)/lnn-r|<ε-ε<ln(1/an)/lnn-r<ε。

交错级数：

正项级数之外，如果一个级数没有正项，或者只有有限个正项，或者只有有限个负项，则其收敛问题都可以归结到一个正项级数的收敛问题，所以只需考虑一个级数既有无限个正项又有无限个负项的情形。

在这种级数中，结构最简单的是正负号逐项相间的级数，对此有莱布尼茨定理：若一交错级数的项的绝对值单调趋于零，则这级数收敛。显然，一个交错级数在形式上可以看成两个正项级数之差。

正项级数：

正项级数代表着收敛性最简单的情形。在这种情形，级数级数的部分和 sm=u1+u2+…+um随着m单调增长，等价于级数的一般项un≥0(因此，有时也称为非负项级数)。于是级数(∑un)收敛等价于部分和(sm)有界。项越小，部分和就越倾向于有界。

同样，每项比前项的比值较小，部分和也就增加较少而较倾向于有界，因此正项级数又有比值判别法。事实上，这都在于断定un的大小数量级。

Answer 2

（1）因为lim(n->∞) ln(1/an)/lnn=r
所以对∀ε>0，存在正整数N，使对所有n>N，有|ln(1/an)/lnn-r|<ε
-ε<ln(1/an)/lnn-r<ε
r-ε<ln(1/an)/lnn<r+ε
(r-ε)lnn<ln(1/an)<(r+ε)lnn
n^(r-ε)<1/an<n^(r+ε)
1/n^(r+ε)<an<1/n^(r-ε)
令ε=(r-1)/2，则an<1/n^[(r+1)/2]
因为(r+1)/2>1，所以∑1/n^[(r+1)/2]收敛
根据比较判别法，∑an收敛
（2）令an=1/3^(lnn)，则an>0
1/an=3^(lnn)
ln(1/an)=lnn*ln3
lim(n->∞) ln(1/an)/lnn=ln3>1
所以根据（1）的结论，∑1/3^(lnn)收敛

Answer 3