Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2an+n．（1）求证：数列{an-1}为等比数列；（2）若数列{bn}满足2bn＝(1

Answer 1

（1）证明：∵Sn=2an+n．
∴当n≥2时，Sn-1=2an-1+n-1．
两式相减可得，sn-sn-1=2an-2an-1+1
即an=2an-2an-1+1
∴an-1=2（an-1-1）
∵n=1时，S1=2a1+1
∴a1=-1，a1-1=-2
∴数列{an-1}是以-2为首项，以2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可得an?1＝?2?2n?1=-2n
∴an＝1?2n
∵2bn＝(1?an)1?an
∴bn＝n?2n
∴Tn=1?2+2?22+3?23+…+n?2n
2Tn=1?22+2?23+…+（n-1）?2n+n?2n+1
两式相减可得，-Tn=2+22+23+…+2n-n?2n+1
=
2(1?2n)
1?2
?n?2n+1
=2n+1-2-n?2n+1
∴Tn=（n-1）?2n+1+2