Question

如图：已知∠1=∠2，∠3=∠4,∠APB=90°，试说明AB=AD+BC

Answer 1

在AB上取一点E，使AE=AD
∠1=∠2
AP公共，
故三角形APB和三角形APE全等
所以∠EPA=∠DPA
因为∠APB=90度，所以∠APE+BPE=90度，∠APE+∠BPC=90度
则∠APE+∠BPC=90度
所以∠BPE=∠BPC
∠3=∠4
BP公共
则三角形BPE和三角形BPC全等
所以BC=AE
即：AB=BE+AE=AD+BC

Answer 2

在△APB中，∵∠APB=90°，∴∠2+∠3=90°。而∠1=∠2，∠3=∠4,∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°。
即AD∥BC,ABCD为梯形。
作Rt△APB的斜边中线PQ,与AB交于点Q
，∴PQ=AQ=BQ.∴∠2∠APQ
,即∠BQP=2∠2,∴PQ∥BC
而AQ=BQ
,∴PQ为梯形ABCD的中位线。∴AD+BC=2PQ
.而PQ=AQ=BQ，∴AD+BC=AQ+BQ
即AB=AD+BC。