Question

有一个分数序列：1/2,3/4,5/6,7/8·······求出这个数列的前30项及总和。

Answer 1

根据规律得出an=(2n-1)/2n=1-1/2n
而数列1/n的前n项和没有通项公式，但它存在极限值，当n趋于无穷大时，其极限值为ln2,下面给出证明：
设a(n)=1/（n+1）+…+1/2n,(少了1/n,多了1/2n)
lim
(1+1/n)^n=e,且(1+1/n)^n<e<(1+1/n)^(n+1)
取对数
1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n
设b(n)=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn
b(n+1)-b(n)=1/(n+1)-ln(1+1/n)<0
又b(n)=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn
>ln2/1+ln3/2+ln4/3+...+ln(1+1/n)-lnn
=ln(n+1)-lnn>0
故lim
b(n)=c,c为常数
由上题a(n)=b(2n)-b(n)+ln(2n)-lnn
lim
a(n)=lim
b(2n)-lim
b(n)+ln2
---当n趋于无穷大时，lim
b(2n)＝lim
b(n)＝c
=c-c+ln2
=ln2
---2n-1
故
lim∑1/n=lim
[a(n)+1/n-1/2n]=lim
a(n)+lim
1/n-lim
1/2n=ln2+0-0=ln2
---i=n