Question

an的前n项和为Sn a1=1 Sn=n^2*an求an的通项公式

Answer 1

1、a(n+1)=(n+2)sn/n=s(n+1)-sn
即ns(n+1)-nsn=(n+2)sn
ns(n+1)=(n+2)sn+nsn
ns(n+1)=(2n+2)sn
s(n+1)/(n+1)=2sn/n
即s[(n+1)/(n+1)]/[sn/n]=2
s1/1=a1=1
所以sn/n是以2为公比1为首项的等比数列
2、由1有sn/n是以2为公比1为首项的等比数列
所以sn/n的通项公式是sn/n=1*2^(n-1)
即sn=n2^(n-1)
那么s(n+1)=(n+1)2^n,s(n-1)=(n-1)2^(n-2)
an=sn-s(n-1)
=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)
=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)
=[2n-(n-1)]*2^(n-2)
=(n+1)2^(n-2)
=(n+1)*2^n/2^2
=(n+1)2^n/4

Answer 2

解：
n≥2时，
an=Sn-S(n-1)=n²·an
-(n-1)²·a(n-1)
(n²-1)an=(n-1)²·a(n-1)
(n+1)(n-1)an=(n-1)²·a(n-1)
n≥2，n-1≠0，等式两边同除以n-1
(n+1)an=(n-1)a(n-1)
an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)
a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/n
…………
a2/a1=1/3
连乘
an/a1=(1/3)(2/4)...[(n-1)/(n+1)]=[1×2×...×(n-1)]/[3×4×...×(n+1)]=2/[n(n+1)]
an=2a1/[n(n+1)]=2×1/[n(n+1)]=2/[n(n+1)]
n=1时，a1=2/(1×2)=1，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=2/[n(n+1)]