Question

一道高二导数题。

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已知曲线C1：y=ax^2上点P处的切线为l1，曲线C2：y=bx^3上点A（1，b）处的切线为l2，且l1⊥l2，垂足为M(2,2)，求a，b的值及点P的坐标。

Answer 1

将两个方程对X求导数得函数的切线斜率的方程
如第一个函数对X求导有y’=2ax，再将点P的横坐标代进去就得到的是曲线在该处的切线斜率，设P点坐标为（m ，am^2），曲线在该处斜率为k1=2am，切线方程为y=2am（x-m）+am^2，即y=2amx-am^2
对第二个方程有y’=3bx，代入Q点横坐标有该点切线斜率为k2=3b，切线方程为y=3b（x-1）+b=3bx-2b
那么就有k1*k2=-1，即6abm=-1
此外点（2，2）也在两条切线上，代入切线方程有
2=4am-am^2 和 b=0.5
解这三个方程有a=-1/30，b=0.5，m=10

参考:

设坐标P(m ，am²），L1斜率k1=2ax
设L1方程：y=2am（x-m）+am²
L2斜率k2=3bx 将Q横坐标带入得：k2=3b
设L2方程：y=3b（x-1）+b=3bx-2b
由k1*k2=-1
两直线的交点（2，2）
得：a=-1/30，b=0.5，m=10
所以P坐标（10，-10/3)