Question

n的阶乘除以n的n次方，在开n次根，极限是多少

Answer 1

xn=(n!/n^n)^(1/n)
两边取对数，
lnxn=(1/n)*(ln(1/n)+ln(2/n)+ln(3/n)+···+ln(n/n))
上式可看成
f(x)=lnx
在[0，1]上的一个积分和。即对[0，1]
区间作n等分，每个小区间长1/n。
因此当n趋于无穷时，lnxn等于f(x)=lnx在[0，1]上的定积分。
lnx在[0，1]上的定积分为-1
所以
lnxn在n趋于无穷时的极限为-1。
由于
xn=e^(lnxn),
于是
xn在n趋于无穷时的极限值为1/e.