Question

正十七边形怎么做

Answer 1

设：正17边形在单位圆上的顶点的复数表示为，
Zk=cos(2kж/17)+isin(2kж/17)
(k=0,1,2…16)
若记：ρ=cos(2kж/17)+isin(2ж/17),则除了1以外的其余16个项为：
ρ1
ρ2
ρ3
ρ4
ρ5
ρ6
ρ7
ρ8；ρ-1
ρ-2
ρ-3
ρ-4
ρ-5
ρ-6
ρ-7
ρ-8
若设
P=ρ+ρ2+。。。+ρ-8
Q=ρ3+ρ5+…+ρ-7
则：
P+Q=ρ+ρ2+。。。+ρ8+ρ-1+ρ-2+。。。+ρ-8
=（1+ρ+ρ2+。。。+ρ8+ρ-1+。。。+ρ-8）-1
=-1
P*Q=（ρ+ρ2+ρ4+ρ8+ρ1+ρ-2+ρ-4+ρ-8）*（ρ3+ρ5+ρ6+ρ7+ρ-3+ρ-5+ρ-6+ρ-7）
=4（P+Q）
=-4
所以：P，Q是方程
X*X+X-4=0的根
P=1/2（-1+gen2（17））
Q=1/2（-1-gen2（17））
显然P，Q可以用尺规作出。
可见cos（2ж/17）可以用尺规作出。
作图的5个步骤：
1）
作出线段P，Q
2）
作出线段
u1，u2
3）
作出线段
V1
4）
作出单位圆，并在实轴上去一点v，使Ov=1/2V1，
过v作虚轴的平行线交单位圆与Z1，则Z0Z1（Z0=1），即为正17边形的一边。
5）
作出其余所有顶点，完成正17边形。。