Question

高数求微分方程！通解或特解！

Answer 1

求下列微分方程的通解或特解：

(1). dy/dx=6x²y³；
解：分离变量得：dy/y³=6x²dx；积分之得：-1/(2y²)=2x³+c₁;
即通解为：y²=-1/(4x³+c); (c=2c₁);
(2). dy/dx=[(e^x)cos²y]/[e^(2x)+1];
解：分离变量得：dy/cos²y=[(e^x)/[e^(2x)+1]dx;
积分之得：tany=∫d(e^x)/[(e^x)²+1]=arctane^x+c;
即 y=arctan(arctane^x+c);
(3), xy²dx+[√(1-x²)]dy=0; y(0)=-1；
解：分离变量得：xdx/√(1-x²)+dy/y²=0
取积分，-(1/2)∫d(1-x²)/√(1-x²)+∫dy/y²=0
积分之得：-√(1-x²)-1/y=c;
∴ y=-1/[c+√(1-x²)]; 代入初始条件x=0,y=-1得 c=0;
故满足初始条件的特解为：y=-1/√(1-x²);