Question

均值不等式 的最值要怎么求

Answer 1

●【均值不等式的变形】　　(1)对正实数a,b，有a^2+b^2≥2ab
(当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab
　　(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0
　　(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)
　　(4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)
　　(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0
　　(6)对非负数a,b，有a^2+b^2
≥1/2*(a+b)^2≥ab
　　(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2
　　(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
　　(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2
　　2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a^2+b^2)/2）
例一
证明不等式：2√x≥3-1/x
(x>0)
　　证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3
　　所以，2√x≥3-1/x
　　例二
长方形的面积为p，求周长的最小值
　　解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p
　
　因为a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p
　　周长最小值为4√p
　　例三
长方形的周长为p，求面积的最大值
　　解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p
　　因为a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16
　　面积最大值是p^2/16

Answer 2

我最烦写太多东西，这里简单的告诉你如果你看是大于等于号比如
a+b≥2√ab
这个，当且仅当a=b时，a+b有最小值（取等号就是最小值）那么反过来看呢？
2√ab
≤
a+b
当且仅当a=b时，2√ab
有最大值（取等号就是最大值）当一个代数式大于等于一个代数式时，取等号这个代数式就有最小值，反之亦然

Answer 3

●【均值不等式的变形】　　(1)对正实数a,b，有a^2+b^2≥2ab
(当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab

　　(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0

　　(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)

　　(4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)

　　(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0

　　(6)对非负数a,b，有a^2+b^2
≥1/2*(a+b)^2≥ab

　　(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2

　　(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac

　　(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2

　　2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a^2+b^2)/2）

例一
证明不等式：2√x≥3-1/x
(x>0)

　　证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3
　　所以，2√x≥3-1/x
　　例二
长方形的面积为p，求周长的最小值
　　解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p
　

　因为a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p

　　周长最小值为4√p
　　例三
长方形的周长为p，求面积的最大值
　　解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p
　　因为a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16
　　面积最大值是p^2/16