Question

如图再平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4,0）并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上，

Answer 1

（1）由a（4，0），可知oa=4，
∵oa=oc=4ob，
∴oa=oc=4，ob=1，
∴c（0，4），b（-1，0）．
设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，
则
a?b+c＝0
16a+4b+c＝0
c＝4
，
解得：
a＝?1
b＝3
c＝4
，
则抛物线的解析式是：y=-x2+3x+4；
（2）存在．
第一种情况，当以c为直角顶点时，过点c作cp1⊥ac，交抛物线于点p1．过点p1作y轴的垂线，垂足是m．
∵∠acp1=90°，
∴∠mcp1+∠aco=90°．
∵∠aco+∠oac=90°，
∴∠mcp1=∠oac．
∵oa=oc，
∴∠mcp1=∠oac=45°，
∴∠mcp1=∠mp1c，
∴mc=mp1，
设p（m，-m2+3m+4），
则m=-m2+3m+4-4，
解得：m1=0（舍去），m2=2．
∴-m2+3m+4=6，
即p（2，6）．
第二种情况，当点a为直角顶点时，过a作ap2，ac交抛物线于点p2，过点p2作y轴的垂线，垂足是n，ap交y轴于点f．
∴p2n∥x轴，
由∠cao=45°，
∴∠oap=45°，
∴∠fp2n=45°，ao=of．
∴p2n=nf，
设p2（n，-n2+3n+4），
则n=（-n2+3n+4）+4，
解得：n1=-2，n2=4（舍去），
∴-n2+3n+4=-6，
则p2的坐标是（-2，-6）．
综上所述，p的坐标是（2，6）或（-2，-6）；

（3）连接od，由题意可知，四边形ofde是矩形，则od=ef．
根据垂线段最短，可得当od⊥ac时，od最短，即ef最短．
由（1）可知，在直角△aoc中，oc=oa=4，
则ac=
oc2+oa2
=4
2
，
根据等腰三角形的性质，d是ac的中点．
又∵df∥oc，
∴df=
1
2
oc=2，
∴点p的纵坐标是2．
则-