Question

关于三角形内角和的数学问题

Answer 1

第1条90度
第2条
∠A+∠B+∠BOA=180度，则∠A+∠B+∠DOC=180度,∠DOC+∠OHK+∠OKH=180度,则∠A+∠B=∠OHK+∠OKH=∠EHD+∠FKC=180度-∠D-∠E+180度-∠C-∠F,则∠A+∠B+∠C+∠D=360度-∠E-∠F,则∠E+∠F=180度,则DE与CF平行
第3条
第4条,连接CE至AB于D点,则∠AED=∠1+∠ACE,∠BED=∠2+∠BCE,两式相加则∠AEB=∠1+∠2+∠C

Answer 2

⑴∵AB//CD
∴∠AGO=∠2
∴∠EOF=∠1+∠AGO=∠1+∠2
在△EOF中∠EOF=180°-（∠E+∠F）=180°-（∠1+∠2）=180°-∠EOF
∴2∠EOF=180°
∴∠EOF=90°

⑵DE与CF平行
证明如下
在△HOK中∠HOK=∠AOB（对顶角）=180°-∠A-∠B
同理∠OHK=180°-∠D-∠E，∠OKH=180°-∠C-∠F
∴∠HOK+∠OHK+∠OKH=540°-∠A-∠B-∠C-∠D-∠E-∠F=180°
∵∠A+∠B+∠C+∠D=180°
∴∠E+∠F=540°-180°-180°=180°
∴DE∥CF
⑶∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°证明：
设AC交BE于F，AC交BD于G并依次为
H，I
，J
则∠JFG=∠A+∠AJF（外角）同理∠FGH=∠B+∠BFG，∠GHI=∠C+∠CGH，∠HIJ=∠D+∠IHD，∠IJF=∠E+∠EIJ
根据内角和定理∠JFG+∠FGH+∠GHI+∠HIJ+∠IJF=180°×3=∠A+∠B+∠C+∠D+∠AJF+∠BFG+∠CGH+∠IHD+∠EIJ
又∵∠AJF=∠EJI，∠BFG=∠AFJ，∠CGH=∠BGF，∠IHD=∠CHG，∠EIJ=∠DIH（对顶角）
五个△（△AJF等）内角和为：∠A+∠B+∠C+∠D+∠AJF+∠BFG+∠CGH+∠IHD+∠EIJ+∠EJI+∠AFJ+∠BGF+∠CHG+∠DIH=∠A+∠B+∠C+∠D+2∠AJF+2∠BFG+2∠CGH+2∠IHD+2∠EIJ=5×180°=2×（∠JFG+∠FGH+∠GHI+∠HIJ+∠IJF）-（∠A+∠B+∠C+∠D）=2×180°×3-（∠A+∠B+∠C+∠D）
∴∠A+∠B+∠C+∠D=180°
⑷∠AEB=∠1+∠2+∠C证明：
连接CE并延长交AB
与D
则∠AED=∠1+∠ACE，∠BED=∠2+∠
BCE
又∵∠AEB=∠AED+∠BED，∠C=∠ACE+∠BCE
∴∠AEB=∠AED+∠BED=∠1+∠ACE+∠2+∠
BCE=∠1+∠2+∠C
∴∠AEB=∠1+∠2+∠C

Answer 3

这些都是初一下图形的一些相关问题，不是很难，同学需要多关注外角，往往容易突破。
1、由平行条件易得∠ABC=∠DCF=∠E+∠2
、∠ABE=∠F+∠1 、∠ABC+∠ABE=180所以∠E+∠F=90
2、连接CD用8字形已转换∠A与∠B从而得证
3、同上连接CD用8字形已转换∠E与∠B从而由三角形ACD内角和得出结论
4、∠AEB=∠1+∠2+∠C

提供几种辅助线，自己按照上面的几个例子完成

（1）（如图）连接AB，可用两次三角形内角和完成
（2）延长AE交BC与点F，可用两次三角形外角性质完成

（3）连接CE并延长，将∠AEB分割成两个角，分别用三角形外角性质完成。