Question

如何证明正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC

Answer 1

正弦定理证明方法
方法1:用三角形外接圆
证明：
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.
连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式。
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
方法2:
用直角三角形
证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC
在直角三角形中,在钝角三角形中(略)。
方法3：用向量
证明：记向量i
，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c
∴a+b+c=0
则i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0
∴a/sinA
=c/sinC
(b与i垂直,i·b=0)
方法4：用三角形面积公式
证明：在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CD⊥AB垂足为点D，作BE⊥AC垂足为点E，则CD=a·sinB，BE=
c
sinA,由三角形面积公式得：AB·CD=AC·BE
即c·a·sinB=
b·c
sinA
∴a/sinA=b/sinB
同理可得b/sinB=c/sinC
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC