Question

1/x^2arctan[1/(x-1/x)]的间断点

Answer 1

解：y=(1+x)arctan[1/(1-x²)]=(1+x)arctan{1/[(1+x)(1-x)}
首先，令分母等于零，得间断点在x=-1和x=1两处。
当x=-1时，考虑其间断点类型。
当x->-1时，1+x
->0，而|arctan{1/[(1+x)(1-x)}|->π/2，一个趋于零的乘以一个有界的，故极限
lim
(1+x)arctan[1/(1+x)(1-x)]=0
x->-1
也即其左右极限都存在，且极限值都为0。所以在x=-1处为第一类间断点，且为可去间断点。
当x=1时，考虑其间断点类型。
左极限
lim
(1+x)arctan[1/(1-x²)]
x->1-
=2*lim
arctan[1/(1-x²)]=2*π/2=π
x->1-
右极限
lim
(1+x)arctan[1/(1-x²)]
x->1+
=2*lim
arctan[1/(1-x²)]=2*(-π/2)=-π
x->1-
所以在x=1处也是第一类间断点，但因左右极限不相等，所以是跳跃间断点。

Answer 2

函数是初等函数，
在x=0与x=±1处没有定义，
所以，仅有x=0与x=±1这三个间断点。
f(x)=1/x²·arctan[x/(x²-1)]
lim(x→0)f(x)
=lim(x→0)1/x²·x/(x²-1)
=lim(x→0)1/[x·(x²-1)]
=∞
∴x=0是第二类无穷间断点。
lim(x→1-)f(x)
=lim(x→1-)arctan[x/(x²-1)]
=-π/2
lim(x→1+)f(x)
=lim(x→1+)arctan[x/(x²-1)]
=π/2
∴x=1是第一类跳跃间断点。
lim(x→-1-)f(x)
=lim(x→-1-)arctan[x/(x²-1)]
=-π/2
lim(x→-1+)f(x)
=lim(x→-1+)arctan[x/(x²-1)]
=π/2
∴x=-1是第一类跳跃间断点。