求级数n∈(2,+∞)∑1/(n²-1)2ⁿ的和
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分享解法和详细过程如下:设S(x)=∑(x^n)/(n²-1),n=2,3,…,∞。显然,S(x)的收敛区间为x∈(-1,1);原式=S(1/2)。
又,1/(n²-1)=(1/2)[1/(n-1)-1/(n+1)]。∴S(x)=(1/2)[∑(x^n)/(n-1)-∑(x^n)/(n+1)]。
而,在其收敛区间、∑(x^n)/(n-1)=x∑x^(n-1)/(n-1)=x∑∫(0,x)x^(n-2)dx=x∫(0,x)dx/(1-x)=-xln(1-x)。同理,∑(x^n)/(n+1)]=(1/x)∑∫(0,x)(x^n)dx=(1/x)∫(0,x)x²dx/(1-x)=-1-x/2-(1/x)ln(1-x)。
∴S(x)=(1/2)[-xln(1-x)+1+x/2+(1/x)ln(1-x)]。原式=S(1/2)=5/8-(3/4)ln2。
供参考。
又,1/(n²-1)=(1/2)[1/(n-1)-1/(n+1)]。∴S(x)=(1/2)[∑(x^n)/(n-1)-∑(x^n)/(n+1)]。
而,在其收敛区间、∑(x^n)/(n-1)=x∑x^(n-1)/(n-1)=x∑∫(0,x)x^(n-2)dx=x∫(0,x)dx/(1-x)=-xln(1-x)。同理,∑(x^n)/(n+1)]=(1/x)∑∫(0,x)(x^n)dx=(1/x)∫(0,x)x²dx/(1-x)=-1-x/2-(1/x)ln(1-x)。
∴S(x)=(1/2)[-xln(1-x)+1+x/2+(1/x)ln(1-x)]。原式=S(1/2)=5/8-(3/4)ln2。
供参考。
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