Question

二重积分d为圆

计算二重积分∫∫D(1-2x-3y)dxdy,D为圆x^2+y^2=1所围成的区域 注：∫∫的下面是D
用极坐标方法得出π,但用直角坐标怎么都不会得出π,
用直角坐标怎么都牵涉不到π,到底怎么回事呢

Answer 1

计算二重积分∫∫D(1-2x-3y)dxdy,D为圆x²+y²=1所围成的区域
两种算法结果是一样的!如果不一样,那就是算错了!用直角坐标时,最后要用变量替换才
能求出最后结果,替换后就会出来π.
先用极坐标计算：
原式=【0,2π】∫dθ【0,1】∫(1-2rcosθ-3rsinθ)rdr
=【0,2π】∫dθ[(r²/2)-(2r³/3)cosθ-r³sinθ]【0,1】
=【0,2π】∫[(1/2)-(2/3)cosθ-sinθ]dθ=[(1/2)θ-(2/3)sinθ+cosθ]【0,2π】=π
再用直角坐标计算：
原式=【-1,1】∫dx【-√(1-x²),√(1-x²)】∫(1-2x-3y)dy
=【-1,1】∫dx[y-2xy-(3/2)y²]【-√(1-x²),√(1-x²)】
=【-1,1】∫[2√(1-x²)-4x√(1-x²)]dx【令x=sinu,则dx=cosudu；x=-1时u=-π/2；x=1时u=π/2】
=【-π/2,π/2】[2∫cos²udu-4∫sinucos²udu]
=【-π/2,π/2】[(1/2)∫(1+cos2u)d(2u)+4∫cos²ud(cosu)]
=[(1/2)(2u+sin2u)+(4/3)cos³u]【-π/2,π/2】=[π/2+(4/3)-(-π/2)-(4/3)]=π