Question

已知A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆C：x2+2y2=4上两点，点M的坐...

已知A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆C：x2+2y2=4上两点，点M的坐标为（1，0）． （Ⅰ）当A，B关于点M（1，0）对称时，求证：x1=x2=1； （Ⅱ）当直线AB经过点（0，3）时，求证：△MAB不可能为等边三角形．

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为A，B在椭圆上，
所以x12+2y12=4，①x22+2y22=4．②
因为A，B关于点M（1，0）对称，
所以x1+x2=2，y1+y2=0，
将x2=2-x1，y2=-y1代入②得(2-x1)2+2y12=4③，
由①和③消y1解得x1=1，
所以 x1=x2=1．
（Ⅱ）当直线AB不存在斜率时，A(0，2)，B(0，-2)，
可得|AB|=22，|MA|=3，△ABM不是等边三角形．
当直线AB存在斜率时，显然斜率不为0．
设直线AB：y=kx+3，AB中点为N（x0，y0），
联立x2+2y2=4y=kx+3消去y得（1+2k2）x2+12kx+14=0，
△=144k2-4（1+2k2）•14=32k2-56，
由△＞0，得到k2＞74①
又x1+x2=-12k1+2k2，x1•x2=141+2k2
所以x0=-6k1+2k2，y0=kx0+3=31+2k2，
所以 N(-6k1+2k2，31+2k2)
假设△ABM为等边三角形，则有MN⊥AB，
又因为M（1，0），
所以kMN×k=-1，即31+2k2-6k1+2k2-1×k=-1，
化简 2k2+3k+1=0，解得k=-1或k=-12
这与①式矛盾，所以假设不成立．
因此对于任意k不能使得MN⊥AB，故△ABM不能为等边三角形．