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设和函数为f(x),从通项中可以看出收敛半径R=1
由於[nx^(n+1)]'=n*(n+1)*x^n
所以原级数可以看成是∑n*x^(n+1),n从1开始这个级数逐项求导来的
又设∑n*x^(n+1)的和函数为g(x),那就有g'(x)=f(x)
又因为g(x)/x²=∑n*x^(n-1),n从1开始
右边这个级数就是1+2x+3x²+...,它的和函数很好求,是1/(1-x)²
那也就有g(x)=x²/(1-x)²=[1/(1-x)-1]²=1/(1-x)²-2/(1-x)+1
f(x)=g'(x)=2/(1-x)³-2/(1-x)²=2x/(1-x)³
注意上面用到左右除以x²这一步,所以要单独讨论x=±1和x=0这3个点
x=1时,级数变成1*2+2*3+3*4+...,发散
x=-1时,级数变成了-1*2+2*3-3*4+...,通项不是无穷小,发散
x=0时,级数=0,满足f(x)的表达式
所以f(x)=2x/(1-x)³,x∈(-1,1)
由於[nx^(n+1)]'=n*(n+1)*x^n
所以原级数可以看成是∑n*x^(n+1),n从1开始这个级数逐项求导来的
又设∑n*x^(n+1)的和函数为g(x),那就有g'(x)=f(x)
又因为g(x)/x²=∑n*x^(n-1),n从1开始
右边这个级数就是1+2x+3x²+...,它的和函数很好求,是1/(1-x)²
那也就有g(x)=x²/(1-x)²=[1/(1-x)-1]²=1/(1-x)²-2/(1-x)+1
f(x)=g'(x)=2/(1-x)³-2/(1-x)²=2x/(1-x)³
注意上面用到左右除以x²这一步,所以要单独讨论x=±1和x=0这3个点
x=1时,级数变成1*2+2*3+3*4+...,发散
x=-1时,级数变成了-1*2+2*3-3*4+...,通项不是无穷小,发散
x=0时,级数=0,满足f(x)的表达式
所以f(x)=2x/(1-x)³,x∈(-1,1)
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