Question

求教 学习三角函数所需的知识点

如题
需求：求教三角函数学习所需从初中到高中的全部知识点

回答标准如下：
1.函数
2.函数的表示方法
3.函数的单调性
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Answer 1

三角函数包括正弦函数(sin)，余弦函数(cos)，正切函数(tan)，余切函数(cot)，正割函数(sec)，余割函数(csc)。

sinx为周期函数，最小正周期为2π，也是奇函数，定义域为R，值域为[–1，1]

在(2kπ–π/2，2kπ＋π/2)单调递增

在(2kπ＋π/2，2kπ＋3π/2)单调递减

对称轴  x=kπ＋π/2，k∈Z

对称中心 (kπ，0)，k∈Z

x=2kπ＋π/2时，取得最大值

x=2kπ–π/2时，取得最小值

cosx为周期函数，最小正周期为2π，也是偶函数，定义域为R，值域为[–1，1]

在(2kπ–π，2kπ)单调递增

在(2kπ，2kπ＋π)单调递减

对称轴  x=kπ，k∈Z

对称中心 (kπ＋π/2，0)，k∈Z

x=2kπ时，取得最大值

x=2kπ＋π时，取得最小值

tanx为周期函数，最小正周期为π，也是奇函数，定义域为｛x|x≠kπ＋π/2，k∈Z｝，值域为R

在(kπ–π/2，kπ＋π/2)单调递增

对称中心(kπ/2，0)， k∈Z

渐近线x=kπ＋π/2，k∈Z

cotx为周期函数，最小正周期为π，也是奇函数，定义域为｛x|x≠kπ，k∈Z｝，值域为R

在(kπ，kπ＋π)单调递减

对称中心(kπ/2，0) ，k∈Z

渐近线x=kπ，k∈Z

                            y=cotx的图像

secx为周期函数，最小正周期为2π，也是偶函数，定义域为｛x|x≠kπ＋π/2，k∈Z｝，值域为(–∞，–1]∪[1，＋∞)

在(2kπ–π/2，2kπ)单调递减

在(2kπ，2kπ＋π/2)单调递增

在(2kπ＋π/2，2kπ＋π)单调递增

在(2kπ＋π，2kπ＋3π/2)单调递减

对称轴x=kπ，k∈Z

对称中心(kπ＋π/2，0)， k∈Z

渐近线x=kπ＋π/2，k∈Z

                              y=secx的图像

cscx为周期函数，最小正周期为2π，也是奇函数，定义域为｛x|x≠kπ，k∈Z｝，值域为(–∞，–1]∪[1，＋∞)

在(2kπ，2kπ＋π/2)单调递减

在(2kπ＋π/2，2kπ＋π)单调递增

在(2kπ＋π，2kπ＋3π/2)单调递增

在(2kπ＋3π/2，2kπ＋2π)单调递减

对称轴x=kπ＋π/2，k∈Z

对称中心(kπ，0)， k∈Z

渐近线x=kπ，k∈Z

                               y=cscx的图像

三角函数基本公式

三角函数求导

(sinx)'=cosx

(cosx)'=–sinx

(tanx)'=sec²x

(cotx)'=–csc²x

(secx)'=secxtanx

(cscx)'=–cscxcotx

三角函数的积分(了解)

∫sinxdx=–cosx＋C

∫cosxdx=sinx＋C

∫tanxdx=–ln|cosx|＋C

∫cotxdx=ln|sinx|＋C

∫secxdx=ln|secx＋tanx|＋C

=ln|tan(x/2＋π/4)|＋C

=1/2 ln|(1＋sinx)/(1–sinx)|＋C

∫cscxdx=ln|cscx–cotx|＋C

=1/2 ln|(cosx–1)/(cosx＋1)|＋C

=ln|tan(x/2)|＋C

附

∫secxdx=∫1/cosxdx=∫cosx/cos²xdx=∫1/(1–sin²x)dsinx

=1/2 ∫[1/(1+sinx)+1/(1–sinx)]dsinx

=1/2 ln(1+sinx)–1/2 ln(1–sinx)＋C

=1/2 ln[(1+sinx)/(1–sinx)]＋C

=1/2 ln[(sin(x/2)＋cos(x/2))²/(sin(x/2)–cos(x/2))²]＋C

=1/2 ln|tan²(x/2＋π/4)|＋C

=ln|tan(x/2＋π/4)|＋C

=ln|sin²(x/2＋π/4)/(sin(x/2＋π/4)cos(x/2＋π/4))|＋C

=ln|(1–cos(x＋π/2))/sin(x＋π/2)|＋C

=ln|(1＋sinx)/cosx|＋C

=ln|secx＋tanx|＋C

∫secxdx=∫(secx＋tanx)secx/(secx＋tanx)  dx

=∫(sec²x＋tanxsecx)/(secx＋tanx) dx

=∫1/(secx＋tanx) d(secx＋tanx)

=ln|secx＋tanx|＋C

cosx=(1–tan²(x/2))/(1＋tan²(x/2))

令tan(x/2)=u，则x=2arctanu，dx=2/(1＋u²) du

∫secxdx=∫dx/cosx=∫(1＋u²)/(1–u²) ·2/(1＋u²) du

=∫2/(1–u²)du=∫[1/(1＋u)＋1/(1–u)] du

=ln|1＋u|–ln|1–u|＋C

=ln|(1＋tan(x/2))/(1–tan(x/2))|＋C

=ln|(sin(x/2)＋cos(x/2))/(sin(x/2)–cos(x/2))|＋C

=ln|∨2sin(x/2＋π/4)/(–∨2cos(x/2＋π/4))|＋C

=ln|tan(x/2＋π/4)|＋C

∫cscxdx=∫1/sinx dx=∫sinx/sin²x dx

=∫dcosx/(cos²x–1)

=1/2 ∫[1/(cosx–1)–1/(cosx＋1)]dcosx

=1/2 ln|(cosx–1)/(cosx＋1)|＋C

=1/2ln|–2sin²(x/2)/(2cos²(x/2))|＋C

=1/2 ln|tan²(x/2)|＋C

=ln|tan(x/2)|＋C

=ln|sin²(x/2)/(sin(x/2)cos(x/2))|＋C

=ln|(1–cosx)/sinx|＋C

=ln|cscx–cotx|＋C

Answer 2

sinx的导数是cosx，cosx的导数是-sinx。

tanx的导数是sec²x=1/cos²x=1+tan²x。

不定积分 结果不唯一求导验证应该能够提高凑微分的计算能力先写别问唉。

Answer 3

三角函数是基本初等函数之一，是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。

如上图，正弦函数sinα在一二象限正，余弦函数cosα在一四象限正，正切函数tan α在一三象限正(一全正，二正弦，三正切，四余弦)

(弄了好几次，总是显示操作错误所以直接发截图了）