Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，（a＞b＞0）的离心率为22，其中左焦点F（...

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，（a＞b＞0）的离心率为22，其中左焦点F（-2，0）． （Ⅰ）求出椭圆C的方程； （Ⅱ）若直线y=x+m与曲线C交于不同的A、B两点，且线段AB的中点M在曲线x2+2y=2上，求m的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意得，ca=22，c=2，解得：a=22，b=2，
所以椭圆C的方程为：x28+y24=1．-----------------（6分）
（Ⅱ）设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），
由x28+y24=1y=x+m，消去y得3x2+4mx+2m2-8=0，-----------------（8分）
由△=96-8m2＞0，解得-23＜m＜23，
所以x0=x1+x22=-2m3，y0=x0+m=m3，
因为点M（x0，y0）在曲线x2+2y=2上，
所以(-2m3)2+2×m3=2，即m=32或m=-3-----------------（12分）