关于x轴对称的点的坐标特点 关于y轴对称的点的坐标特点？
东莞大凡
2024-11-14 广告
十月已经过半，同学们又将迎来期中考试，为了方便大家后期复习，阿德老师特意在此总结了八年级数学上册期中考试知识点，希望能帮到大家。
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第十二章 12.3 角的平分线的性质
1、角平分线：
（1）画法
（2）性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
（3）性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
2、证明的基本方法：
（1）明确命题中的已知和求证。（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）
（2）根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证。
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
第十三章轴对称
一、知识框架
二、知识概念
1、基本概念：
（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
（2）两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。
（3）线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
（4）等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
（5）等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2、基本性质：
（1）对称的性质：
①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
②对称的图形都全等。
（2）线段垂直平分线的性质：
①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（3）关于坐标轴对称的点的坐标性质
①点P （x, y）关于x轴对称的点的坐标为P'（x, ﹣y）。
②点P（x, y）关于y轴对称的点的坐标为P"（-x, y）。
（4）等腰三角形的性质：
①等腰三角形两腰相等；
②等腰三角形两底角相等（等边对等角）；
③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合；
④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）。
（5）等边三角形的性质：
①等边三角形三边都相等；
②等边三角形三个内角都相等，都等于60°；
③等边三角形每条边上都存在三线合一；
④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）。
3、基本判定：
（1）等腰三角形的判定：
①有两条边相等的三角形是等腰三角形；
②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。
（2）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
4、基本方法：
（1）做已知直线的垂线；
（2）做已知线段的垂直平分线；
（3）作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线；
（4）作已知图形关于某直线的对称图形；
（5）在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短。
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第三章位置与坐标
一、生活中确定位置的方法
1、行列定位法
把平面分成若干个行列的组合，然后用行号和列号表示平面中点的位置，要准确表示平面中的位置，需要行号、列号两个独立的数据，缺一不可。
2、方位角加距离定位法
此方法也叫极坐标定位法，是生活中常用的方法。在平面中确定位置时需要两个独立的数据：方位角、距离。特别需要注意的是中心位置的确定。
3、方格定位法
在方格纸上，一点的位置由横向方格数和纵向方格数确定，记作（横向方个数，纵向方个数）。需要两个数据确定物体位置。
4、区域定位法
是生活中常用的方法，也需要两个数据才能确定物体的位置。此方法简单明了，但不够准确。如：A1区，D3区等。
5、经纬度定位法
利用经度和纬度来确定物体位置的方法，也同时需要两个数据才能确定物体的位置。
二、平面直角坐标系
1、平面直角坐标系及相关概念
在平面内，两条相互垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，简称直角坐标系。通常两条数轴位置水平和垂直位置，规定水平轴向右和垂直轴向上为两条数轴的正方向。水平数轴称为x轴或横轴，垂直数轴称为y轴或者纵轴，x轴、y轴统称坐标轴，公共原点O称为坐标系的原点。
两条数轴把平面划分为四个部分，右上部分叫做第一象限，其余部分按逆时针方向分别叫做第二、第三、第四象限。
2、点的坐标表示
在平面直角坐标系中，平面上的任意一点P，都可以用坐标来表示。过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。
在平面直角坐标系中，平面上的任意一点P，都有唯一一对有序实数（即点的坐标）与它对应；反之，对于任意一对有序实数，都可以在平面上找到唯一一点与它对应。
3、特殊位置上点的坐标特点
（1）坐标轴上点的坐标特点
x轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0。
（2）与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点
与x轴平行直线上所有点的纵坐标相同；与y轴平行直线上所有点的横坐标相同。
（3）各象限内点P（a，b）的坐标特点
第一象限：a>0，b>0；
第二象限：a<0，b>0；
第三象限：a<0，b<0；
第四象限：a>0，b<0。
4、根据点的坐标描点连线组成图形
（1）已知点的坐标确定点的位置：分别根据坐标值在x轴、y轴作垂线，交点及为该点。
（2）连线只能连各组内的点，两组之间的点不要相连。
5、建立适当的直角坐标系求点的坐标
（1）建立坐标系的思路：首先分析选择适当的点做为坐标原点；其次过原点在水平和垂直的方向画出x轴和y轴；再次确定正方形、单位长度。
（2）建立坐标系的方法不唯一，原则是：运算简单，所得坐标简单。
三、轴对称与坐标变换
1、图形的坐标变化与轴对称
（1）横坐标不变，纵坐标分别乘-1，所得图形与x轴对称；反之与y轴对称。
（2）在坐标系中作轴对称图形的方法：确定对称点坐标，描出各对称点，依次连线。
2、直角坐标系中对称点的坐标关系
关于x轴对称的两点坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的两点坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。
第四章一次函数
一、函数
1、变量的定义：在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。
注意：变量还分为自变量和因变量。
2、常量的定义：在某一变化过程中，有些量的数值始终不变，我们称它们为常量。
3、函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，y的值称为函数值。
4、函数的三种表示法：（1）表达式法（解析式法）；（2）列表法；（3）图象法。
a、用数学式子表示函数的方法叫做表达式法（解析式法）。
b、由一个函数的表达式，列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做列表法。
c、把这些对应值（有序的）看成点坐标，在坐标平面内描点，进而画出函数的图象来表示函数的方法叫做图像法。
5、求函数的自变量取值范围的方法。
（1）要使函数的表达式有意义：
a、整式（多项式和单项式）时为全体实数；
b、分式时，让分母≠0；
c、含二次根号时，让被开方数≠0。
（2）对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。注意可能含有隐含非负或大于0的条件。
6、求函数值方法：把所给自变量的值代入函数表达式中，就可以求出相应的函数值。
7、描点法画函数图象的一般步骤如下：
Step 1：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
Step 2：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
Step 3：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、判断y不是x的函数的题型：
A、给出解析式让你判断：可给x值来求y的值，若y的值唯一确定，则y是x的函数；否则不是。
B、给出图像让你判断：过x轴做垂线，垂线与图像交点多余一个（≥2）时，y不是x的函数；否则y是x的函数。
二、正比例函数
1、正比例函数的定义：一般地，形如y= kx（k是常数， k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
注意：
a、自变量x的次数是一次幂，且只含有x的一次项；
b、比例系数k≠0；
c、不含有常数项，只有x一次幂的单项而已。
2、正比例函数图像：一般地，正比例函数的y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx。
当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限（正奇），从左向右升，即随着x的增大y也增大。
当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限（负偶），从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。
画正比例函数的最简单方法：
（1）先选取两点，通常选出（0，0）与点（1，k）；
（2）在坐标平面内描出点（0，0）与点（1，k）；
（3）过点（0，0）与点（1，k）做一条直线。
这条直线就是正比例函数y=kx （k≠0）的图象。
三、一次函数
1、一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
注意：
a、自变量x的次数是一次幂，且只含有x的一次项；
b、比例系数k≠0；
c、常数项可有可无。
2、一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移| b |个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）。
3、系数k的意义：k表征直线的倾斜程度，k值相同的直线相互平行，k不同的直线相交。
系数b的意义：b是直线与y轴交点的纵坐标。
当k>0时，直线y=kx+b从左向右升，即随着x的增大y也增大。
当k<0时，直线y=kx+b从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。
直线y=kx+b与y轴的交点是点（0，b）；与x轴的交点是点（-b，0)。
4、一次函数图像和解析式的系数之间的关系
5、画一次函数图像的最简单方法：
这条直线就是正比例函数 y=kx （ k ≠ 0 ）的图象。
6、待定系数法确定一次函数解析式：根据已知的自变量与函数的对应值，或函数图像直线上的点坐标。
步骤：
a、写出函数解析式的一般形式，其中包括未知的系数（需要确定这些系数，因此叫做待定系数）；
b、把自变量与函数的对应值（可能是以函数图象上点的坐标的形式给出），即x、y的值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。（有几个待定系数，就要有几个方程）
c、解方程或方程组，求出待定系数的值，从而写出所求函数的解析式。
7、解析式与图像上点相互求解的题型
①求解析式：解析式未知，但知道直线上两个点坐标，将点坐标看作x、y值代入解析式组成含有k、b两个未知数的方程组，求出k、b的值，再带回解析式中就求出解析式了。
②求直线上点坐标：解析式已知，但点坐标只知道横纵坐标中得一个，将其代入解析式求出另一个坐标值即可。
四、一次函数与一元一次方程
由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值y=0时，求相应的自变量x的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值。
五、一次函数与一元一次不等式
由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看出：当一次函数值y大（小）于0时，求自变量x相应的取值范围。
用一次函数图象来解首先找到直线中满足y>（＜）0的部分，然后判断这部分线的x的取值范围。
六、一次函数与二元一次方程（组）
2、求两条直线的交点的方法：将两条直线的解析式组成方程组，求解方程组的x、y的值即为两直线交点坐标。
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12.4整式的除法
一、单项式除以单项式
法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
如：
-21a2b3c÷3ab=（-21÷3）·a2-1b3-1·c = -7ab2c
（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3
=8x6y3·（-7xy2）÷14x4y3
=[8×（-7）]·x6+1y3+2÷14x4y3
=（-56÷14）·x7-4·y5-3
= -4x3y2
5（2a+b）4÷（2a+b）2
=（5÷1）（2a+b）4-2
=5 （2a+b）2
=5（4a2+4ab+b2）
=20a2 +20ab+5b2
二、多项式除以单项式
法则：（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。
如：
（21x4y3-35x3y2+7x2y2）÷（-7x2y）
=21x4y3÷（-7x2y）- 35x3y2÷（-7x2y）+7x2y2÷（-7x2y）
=﹣3x2y2+5xy-y
[4y（2x-y）-2x（2x-y）]÷（2x-y）
= 4y（2x-y）÷（2x-y）- 2x（2x-y）÷（2x-y）
= 4y-2x
整式的运算顺序：先乘方（开方）再乘除，最后加减，括号优先。
12.5因式分解
一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。（分解因式）
因式分解与整式乘法互为逆运算。
二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。
具体步骤：
（1）“看”：观察各项是否有公因式；
（2）“隔”：把每项的公因式“隔离”出来；
（3）“提”：按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。
（a-b）2n=（b-a）2n（n为正整数）；
（a-b）2n+1= -（b-a）2n+1（n为正整数）；
如：
8a2b-4ab+2a
=2a·4ab-2a·2b+2a·1
=2a（4ab-2b+1）；
-5a2+25a
=-5a（a-5）
注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。
三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。
1、平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
注意事项：
（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：
102-92
=（10+9）（10-9）
=19X1
=19；
4 x2y2-a2
=（2xy）2-a2
= （2xy+a）（2xy-a）；
（2n+1）2-（2n-1）2
=（2n+1+2n- 1）（2n+1- 2n+1）
= 8n
（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。
（3）注意公式的结构，运用时一定要判断准确。
2、完全平方公式：（a±b）2=a2±2a b+b2
注意事项：
（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：
m2n2-2mna+ a2
= （mn）2-2mn·a+ a2
=（mn-a）2；
X2+4xy+4y2
=x2+2·x·2y+（2y）2
=（x+2y）2
（2）注意公式运用时的对位“套用”；
（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。
四、补充分解法
1、公式：x2+（a+b）x+ab= （x+a）（x+b）。
如：
x2+5x+6
= x2+（2+3）x+2×3
=（x+2）（x+3）；
x2+5x-6
= x2+[6+（-1）]x+6×（-1）
=（x+6）（x-1）
2、“十字相乘法”
如：x2 +9x+14=（x+2）（x+7） x2-2x- 8=（x+2）（x-4）
五、综合
1、利用乘法公式进行因式分解时，应依照：“一看二套三分解”的顺序。
2、遇到因式分解的题目时，做题步骤为：
（1）看首项是否为“1”。若为“1”，就要注意提负号；
（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该先把公因式提取出来；
（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。
3、注意事项：
（1）注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；
（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；
（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；
（4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解，不要乱用此法。
第13章全等三角形
13.1命题、定理与证明
1 、命题定义：可以判断真假的陈述句叫命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；一个命题分题设和结论两部分。
2、公理：有些命题的正确性是人们在长期实践过程中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫公理。
3、定理：从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并可以作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫定理。
13.2三角形全等的判定
1 、全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2、全等三角形：
定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
表示方法：△ABC≌△DEF
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
3、三角形全等的判定：
（1）边边边（SAS）：三边对应相等的两个三角形全等。
（2）边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（3）角边角（ASA）：两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（4）角角边（AAS）：两个角和其中的一个叫的对边对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边，直角边（HL）：斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。
— End —
