关于x轴对称的点的坐标特点 关于y轴对称的点的坐标特点?
2021-11-30 广告
2022-06-17
十月已经过半,同学们又将迎来期中考试,为了方便大家后期复习,阿德老师特意在此总结了八年级数学上册期中考试知识点,希望能帮到大家。
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第十二章 12.3 角的平分线的性质
1、角平分线:
(1)画法
(2)性质定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等。
(3)性质定理的逆定理:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
2、证明的基本方法:
(1)明确命题中的已知和求证。(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系)
(2)根据题意,画出图形,并用数字符号表示已知和求证。
(3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。
第十三章轴对称
一、知识框架
二、知识概念
1、基本概念:
(1)轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形。
(2)两个图形成轴对称:把一个图形沿某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称。
(3)线段的垂直平分线:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。
(4)等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角。
(5)等边三角形:三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2、基本性质:
(1)对称的性质:
①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称,对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
②对称的图形都全等。
(2)线段垂直平分线的性质:
①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;
②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
(3)关于坐标轴对称的点的坐标性质
①点P (x, y)关于x轴对称的点的坐标为P'(x, ﹣y)。
②点P(x, y)关于y轴对称的点的坐标为P"(-x, y)。
(4)等腰三角形的性质:
①等腰三角形两腰相等;
②等腰三角形两底角相等(等边对等角);
③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线,底边上的高相互重合;
④等腰三角形是轴对称图形,对称轴是三线合一(1条)。
(5)等边三角形的性质:
①等边三角形三边都相等;
②等边三角形三个内角都相等,都等于60°;
③等边三角形每条边上都存在三线合一;
④等边三角形是轴对称图形,对称轴是三线合一(3条)。
3、基本判定:
(1)等腰三角形的判定:
①有两条边相等的三角形是等腰三角形;
②如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)。
(2)等边三角形的判定:
①三条边都相等的三角形是等边三角形;
②三个角都相等的三角形是等边三角形;
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
4、基本方法:
(1)做已知直线的垂线;
(2)做已知线段的垂直平分线;
(3)作对称轴:连接两个对应点,作所连线段的垂直平分线;
(4)作已知图形关于某直线的对称图形;
(5)在直线上做一点,使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短。
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第三章位置与坐标
一、生活中确定位置的方法
1、行列定位法
把平面分成若干个行列的组合,然后用行号和列号表示平面中点的位置,要准确表示平面中的位置,需要行号、列号两个独立的数据,缺一不可。
2、方位角加距离定位法
此方法也叫极坐标定位法,是生活中常用的方法。在平面中确定位置时需要两个独立的数据:方位角、距离。特别需要注意的是中心位置的确定。
3、方格定位法
在方格纸上,一点的位置由横向方格数和纵向方格数确定,记作(横向方个数,纵向方个数)。需要两个数据确定物体位置。
4、区域定位法
是生活中常用的方法,也需要两个数据才能确定物体的位置。此方法简单明了,但不够准确。如:A1区,D3区等。
5、经纬度定位法
利用经度和纬度来确定物体位置的方法,也同时需要两个数据才能确定物体的位置。
二、平面直角坐标系
1、平面直角坐标系及相关概念
在平面内,两条相互垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系,简称直角坐标系。通常两条数轴位置水平和垂直位置,规定水平轴向右和垂直轴向上为两条数轴的正方向。水平数轴称为x轴或横轴,垂直数轴称为y轴或者纵轴,x轴、y轴统称坐标轴,公共原点O称为坐标系的原点。
两条数轴把平面划分为四个部分,右上部分叫做第一象限,其余部分按逆时针方向分别叫做第二、第三、第四象限。
2、点的坐标表示
在平面直角坐标系中,平面上的任意一点P,都可以用坐标来表示。过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐标。
在平面直角坐标系中,平面上的任意一点P,都有唯一一对有序实数(即点的坐标)与它对应;反之,对于任意一对有序实数,都可以在平面上找到唯一一点与它对应。
3、特殊位置上点的坐标特点
(1)坐标轴上点的坐标特点
x轴上点的纵坐标为0;y轴上点的横坐标为0;原点的横坐标、纵坐标都为0。
(2)与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点
与x轴平行直线上所有点的纵坐标相同;与y轴平行直线上所有点的横坐标相同。
(3)各象限内点P(a,b)的坐标特点
第一象限:a>0,b>0;
第二象限:a<0,b>0;
第三象限:a<0,b<0;
第四象限:a>0,b<0。
4、根据点的坐标描点连线组成图形
(1)已知点的坐标确定点的位置:分别根据坐标值在x轴、y轴作垂线,交点及为该点。
(2)连线只能连各组内的点,两组之间的点不要相连。
5、建立适当的直角坐标系求点的坐标
(1)建立坐标系的思路:首先分析选择适当的点做为坐标原点;其次过原点在水平和垂直的方向画出x轴和y轴;再次确定正方形、单位长度。
(2)建立坐标系的方法不唯一,原则是:运算简单,所得坐标简单。
三、轴对称与坐标变换
1、图形的坐标变化与轴对称
(1)横坐标不变,纵坐标分别乘-1,所得图形与x轴对称;反之与y轴对称。
(2)在坐标系中作轴对称图形的方法:确定对称点坐标,描出各对称点,依次连线。
2、直角坐标系中对称点的坐标关系
关于x轴对称的两点坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数;
关于y轴对称的两点坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数。
第四章一次函数
一、函数
1、变量的定义:在某一变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量。
注意:变量还分为自变量和因变量。
2、常量的定义:在某一变化过程中,有些量的数值始终不变,我们称它们为常量。
3、函数的定义:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数,y的值称为函数值。
4、函数的三种表示法:(1)表达式法(解析式法);(2)列表法;(3)图象法。
a、用数学式子表示函数的方法叫做表达式法(解析式法)。
b、由一个函数的表达式,列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做列表法。
c、把这些对应值(有序的)看成点坐标,在坐标平面内描点,进而画出函数的图象来表示函数的方法叫做图像法。
5、求函数的自变量取值范围的方法。
(1)要使函数的表达式有意义:
a、整式(多项式和单项式)时为全体实数;
b、分式时,让分母≠0;
c、含二次根号时,让被开方数≠0。
(2)对实际问题中的函数关系,要使实际问题有意义。注意可能含有隐含非负或大于0的条件。
6、求函数值方法:把所给自变量的值代入函数表达式中,就可以求出相应的函数值。
7、描点法画函数图象的一般步骤如下:
Step 1:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);
Step 2:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);
Step 3:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。
8、判断y不是x的函数的题型:
A、给出解析式让你判断:可给x值来求y的值,若y的值唯一确定,则y是x的函数;否则不是。
B、给出图像让你判断:过x轴做垂线,垂线与图像交点多余一个(≥2)时,y不是x的函数;否则y是x的函数。
二、正比例函数
1、正比例函数的定义:一般地,形如y= kx(k是常数, k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数。
注意:
a、自变量x的次数是一次幂,且只含有x的一次项;
b、比例系数k≠0;
c、不含有常数项,只有x一次幂的单项而已。
2、正比例函数图像:一般地,正比例函数的y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线y=kx。
当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限(正奇),从左向右升,即随着x的增大y也增大。
当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限(负偶),从左向右下降,即随着x的增大y反而减小。
画正比例函数的最简单方法:
(1)先选取两点,通常选出(0,0)与点(1,k);
(2)在坐标平面内描出点(0,0)与点(1,k);
(3)过点(0,0)与点(1,k)做一条直线。
这条直线就是正比例函数y=kx (k≠0)的图象。
三、一次函数
1、一次函数的定义:一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数,当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
注意:
a、自变量x的次数是一次幂,且只含有x的一次项;
b、比例系数k≠0;
c、常数项可有可无。
2、一次函数y=kx+b的图象是一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移| b |个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移)。
3、系数k的意义:k表征直线的倾斜程度,k值相同的直线相互平行,k不同的直线相交。
系数b的意义:b是直线与y轴交点的纵坐标。
当k>0时,直线y=kx+b从左向右升,即随着x的增大y也增大。
当k<0时,直线y=kx+b从左向右下降,即随着x的增大y反而减小。
直线y=kx+b与y轴的交点是点(0,b);与x轴的交点是点(-b,0)。
4、一次函数图像和解析式的系数之间的关系
5、画一次函数图像的最简单方法:
这条直线就是正比例函数 y=kx ( k ≠ 0 )的图象。
6、待定系数法确定一次函数解析式:根据已知的自变量与函数的对应值,或函数图像直线上的点坐标。
步骤:
a、写出函数解析式的一般形式,其中包括未知的系数(需要确定这些系数,因此叫做待定系数);
b、把自变量与函数的对应值(可能是以函数图象上点的坐标的形式给出),即x、y的值代入函数解析式中,得到关于待定系数的方程或方程组。(有几个待定系数,就要有几个方程)
c、解方程或方程组,求出待定系数的值,从而写出所求函数的解析式。
7、解析式与图像上点相互求解的题型
①求解析式:解析式未知,但知道直线上两个点坐标,将点坐标看作x、y值代入解析式组成含有k、b两个未知数的方程组,求出k、b的值,再带回解析式中就求出解析式了。
②求直线上点坐标:解析式已知,但点坐标只知道横纵坐标中得一个,将其代入解析式求出另一个坐标值即可。
四、一次函数与一元一次方程
由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值y=0时,求相应的自变量x的值,从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点的横坐标的值。
五、一次函数与一元一次不等式
由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看出:当一次函数值y大(小)于0时,求自变量x相应的取值范围。
用一次函数图象来解首先找到直线中满足y>(<)0的部分,然后判断这部分线的x的取值范围。
六、一次函数与二元一次方程(组)
2、求两条直线的交点的方法:将两条直线的解析式组成方程组,求解方程组的x、y的值即为两直线交点坐标。
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12.4整式的除法
一、单项式除以单项式
法则:单项式相除,只要将它们的系数与系数相除,相同字母的幂相除,只在被除式中出现的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。
如:
-21a2b3c÷3ab=(-21÷3)·a2-1b3-1·c = -7ab2c
(2x2y)3·(-7xy2)÷14x4y3
=8x6y3·(-7xy2)÷14x4y3
=[8×(-7)]·x6+1y3+2÷14x4y3
=(-56÷14)·x7-4·y5-3
= -4x3y2
5(2a+b)4÷(2a+b)2
=(5÷1)(2a+b)4-2
=5 (2a+b)2
=5(4a2+4ab+b2)
=20a2 +20ab+5b2
二、多项式除以单项式
法则:(乘法分配律)只要将多项式的每一项分别去除以单项式,再将所得的商相加。
如:
(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)
=21x4y3÷(-7x2y)- 35x3y2÷(-7x2y)+7x2y2÷(-7x2y)
=﹣3x2y2+5xy-y
[4y(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)
= 4y(2x-y)÷(2x-y)- 2x(2x-y)÷(2x-y)
= 4y-2x
整式的运算顺序:先乘方(开方)再乘除,最后加减,括号优先。
12.5因式分解
一、因式分解的定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解。(分解因式)
因式分解与整式乘法互为逆运算。
二、提取公因式法:把一个多项式的公因式提取出来,使多项式化为两个因式的积,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
公因式定义:多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。
具体步骤:
(1)“看”:观察各项是否有公因式;
(2)“隔”:把每项的公因式“隔离”出来;
(3)“提”:按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来,使多项式化为两个因式的积。
(a-b)2n=(b-a)2n(n为正整数);
(a-b)2n+1= -(b-a)2n+1(n为正整数);
如:
8a2b-4ab+2a
=2a·4ab-2a·2b+2a·1
=2a(4ab-2b+1);
-5a2+25a
=-5a(a-5)
注意:凡给出的多项式的“首项为负”时,要连同“-”号与公因式一并提出来。
三、公式法:利用乘法公式进行因式分解的方法,叫做公式法。
1、平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)
注意事项:
(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。
如:
102-92
=(10+9)(10-9)
=19X1
=19;
4 x2y2-a2
=(2xy)2-a2
= (2xy+a)(2xy-a);
(2n+1)2-(2n-1)2
=(2n+1+2n- 1)(2n+1- 2n+1)
= 8n
(2)注意公式中的第一项、第二项各自相同,中间是“异号”的情况,才能用平方差公式。
(3)注意公式的结构,运用时一定要判断准确。
2、完全平方公式:(a±b)2=a2±2a b+b2
注意事项:
(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。
如:
m2n2-2mna+ a2
= (mn)2-2mn·a+ a2
=(mn-a)2;
X2+4xy+4y2
=x2+2·x·2y+(2y)2
=(x+2y)2
(2)注意公式运用时的对位“套用”;
(3)注意公式中“中间的乘积项的符号”。
四、补充分解法
1、公式:x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)。
如:
x2+5x+6
= x2+(2+3)x+2×3
=(x+2)(x+3);
x2+5x-6
= x2+[6+(-1)]x+6×(-1)
=(x+6)(x-1)
2、“十字相乘法”
如:x2 +9x+14=(x+2)(x+7) x2-2x- 8=(x+2)(x-4)
五、综合
1、利用乘法公式进行因式分解时,应依照:“一看二套三分解”的顺序。
2、遇到因式分解的题目时,做题步骤为:
(1)看首项是否为“1”。若为“1”,就要注意提负号;
(2)看各项是否有公因式,若有公因式,应该先把公因式提取出来;
(3)没有公因式时,就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。
3、注意事项:
(1)注意(a-b)与(b-a)的关系是互为相反数;
(2)因式分解要彻底,不要只提出公因式就完,还要看剩下的因式是否可以继续分解;
(3)现阶段的因式分解的题目,一般都要求在有理数范围内分解,所以不能出现带根号的数;
(4)注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解,不要乱用此法。
第13章全等三角形
13.1命题、定理与证明
1 、命题定义:可以判断真假的陈述句叫命题,正确的命题叫真命题,错误的命题叫假命题;一个命题分题设和结论两部分。
2、公理:有些命题的正确性是人们在长期实践过程中总结出来的,并把它作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫公理。
3、定理:从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法证明它们是正确的,并可以作为判断其他命题真假的依据,这样的命题叫定理。
13.2三角形全等的判定
1 、全等形:能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2、全等三角形:
定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
表示方法:△ABC≌△DEF
全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。
3、三角形全等的判定:
(1)边边边(SAS):三边对应相等的两个三角形全等。
(2)边角边(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(3)角边角(ASA):两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(4)角角边(AAS):两个角和其中的一个叫的对边对应相等的两个三角形全等。
(5)斜边,直角边(HL):斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。
— End —