Question

已知在梯形ABCD中，AD‖BC，AD＜BC，且AD=5，AB=DC=2. (1)如图，P为AD上的一点，

已知在梯形ABCD中，AD‖BC，AD＜BC，且AD=5，AB=DC=2. (1)如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A. ①求证;△ABP∽△DPC②求AP的长(不用证明，AP=1或4，只需完成下面的问题!!) (2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合)，且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量取值范围; (3)当CE=1,求AP的长

Answer 1

注意“以点P为顶点，做∠BPN=∠A，交边BC所在的直线于点E”这句话，E是BC所在直线上的点，所以E可以在C点左1cm也可是在C右1cm
以在左1cm为例
过E点做EF∥CD交AD于点F，由已知条件易知梯形ABCD为等腰梯形，所以EFDC为平行四边形，EF=CD=2，DF=EC=1，AF=AD-DF=4,=AP+PF
之后证明△APB∽△FEP（根据内错角和∠BPN=∠A条件易得三个角对应相等），那么就存在比例关系：AP：EF=AB:PF...从而推出AP*PF=EF*AB=4,。再根据AP+PF=4，得出AP=PF=2

如果E在C右1cm，那么交AD延长线于点F，同理可得，只是条件AP+PF=5+1=6，最后得出AP=3-根号5（3+根号5，因为P在AD线段上所以舍掉）

请采纳

Answer 2

由于字符限制和时间原因，以下求解过程简写
解:由于AB=DC=2，AD‖BC，可以证明∠A=∠D，∠A=∠BPC=∠D，∠ABP=∠DPC
推知相似;
由相似求解方程得AP;
画出示意图同上相似过程写出关系式:X/(2-Y)=2/(5-X)……a即可得出;
又由△QDP∽△QCE得出关系式(5-X)/CE=(2-Y)/Y……b，CE=1，由a和b两式即可解出AP或X，答案为3-根号5