已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,面积为S.(1)求证:a2...

已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,面积为S.(1)求证:a2+b2+c2≥4√3S;(2)求证:tanA2tanB2,tanB2tanC2,tanC2... 已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,面积为S. (1)求证:a2+b2+c2≥4√3S; (2)求证:tanA2tanB2,tanB2tanC2,tanC2tanA2中至少有一个不小于13. 展开
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巢柏甘素昕
2019-07-11 · TA获得超过3850个赞
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证明:(1)要证明a2+b2+c2≥4√3S,
只需证明a2+b2+a2+b2-2abcosC≥2√3absinC,
只需证明a2+b2≥2absin(C+π6),
只需证明a2+b2≥2ab,
只需证明(a-b)2≥0,显然成立,
∴a2+b2+c2≥4√3S;
(2)假设tanA2tanB2,tanB2tanC2,tanC2tanA2都不小于13,
则tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2<1①
∵tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2=tanB2(tanA2+tanC2)+tanC2tanA2
=tanB2tan(A2+C2)[1-tanC2tanA2]+tanC2tanA2=1
这与①矛盾,
∴tanA2tanB2,tanB2tanC2,tanC2tanA2中至少有一个不小于13.
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