伽马函数(1/2)的值是如何算出的
(a-1)]/[1 X}dx如何Γ(x 1)=xΓ(x),Γ(0)=1
^Γ（1/2)=int(e^x/sqrt(x),x=0..+无穷）
(就是x^(1/2-1)*e^x从0到正无du穷的积分)
换元积分，令zhisqrt(x)=t，则
e^x/sqrt(x)=e^(t^2)/t
x=t^2，dx=2tdt
由x的范围可知t的范围也是0到正无穷
所以
Γ(1/2)=int(e^(t^2)*2t/t,t=0..+无穷)
=int(2e^(t^2),t=0..+无穷）
而e^(t^2)从0到正无穷的积分是sqrt(Pi)/2,（根据正态分布的密度函数）
（或者利用极坐标的二重积分计算该积分的平方）
所以Γ(1/2)=sqrt(Pi)
伽玛函数，也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分。可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。
扩展资料：
对1/(1-x)进行离散与连续展开，有
1/(1-x)=
∑x^k
=∫e^-(1-x)tdt
=∫e^-t∑(xt)^k/k!dt
=∑(∫e^(-t)t^kdt)x^k/k!
对比系数有k!=∫e^(-t)t^kdt
x在收敛域(-1，1)内，求和积分均在0到+∞
最后的积分中我们可以让k取任意实数，这样我们就把阶乘延拓到实数集中了
参考资料来源：百度百科-伽玛函数
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2023-08-01 广告
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Γ(α)=∫_0^∞〖x^(α-1) e^(-x) dx〗
Γ(1/2)=∫_0^∞〖x^(-1/2) e^(-x) dx〗
=∫_0^∞〖e^(-x) d(2x^(1/2))〗
=∫_0^∞〖e^(-u^2 ) d(2u) 〗 (令u=x^(1/2) )
=∫_0^∞〖2·e^(-u^2 ) du〗
=∫_(-∞)^∞〖e^(-u^2 ) du〗
Γ(1/2)·Γ(1/2)
=∫_(-∞)^∞〖e^(-u^2 ) du〗·∫_(-∞)^∞〖e^(-v^2 ) dv〗
=∫_(-∞)^∞∫_(-∞)^∞〖e^(-u^2-v^2 ) dudv〗
=∫_0^2π ∫_0^∞〖e^(-r^2 ) rdrdθ〗
=∫_0^∞〖e^(-r^2 ) rdr〗 ∫_0^2π dθ
=-1/2 e^(-r^2 ) |(0，∞) ·∫_0^2π dθ
=1/2·2π
=π
Γ(1/2)=√π
