Question

the children each是单数还是复数

Answer 1

the children each中，children是中心词， each 是其同位语，所以这部分应该是复数。如：
The children each have a book.孩子们每一个都有一本书。（主语部分是The children each，中心词及主语是children）
=The children have a book each. (each依然是主语children的同位语）
= Each of the children has a book. 此句中的主语部分是Each of the children，中心词及主语是each, 介词短语of the children是作后置定语，表示范围，修饰each。
希望对你有帮助。

Answer 2

应该是单数。

Answer 3

习惯上以单数对待