Question

设F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点．（1）...

设F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点． （1）设椭圆C上的点(22，32)到F1，F2两点距离之和等于22，写出椭圆C的方程； （2）设过（1）中所得椭圆上的焦点F2且斜率为1的直线与其相交于A，B，求△ABF1的面积； （3）设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPN，kPN试探究kPN•kPN的值是否与点P及直线l有关，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）由于点(22，32)在椭圆上，所以(22)2a2+(32)2b2=12a=22（2分）
解得a2=2b2=1，（4分）
故椭圆C的方程为x22+y2=1（5分）
（2）由（1）知椭圆C的左右焦点坐标分别为F1（-1，0），F2（1，0），|F1F2|=2
所以，过椭圆的焦点F2且斜率为1的直线方程为y=x-1
将其代入x22+y2=1，整理得3x2-4x=0，解得x1=0，x2=43
当x1=0时，y1=-1，当x2=43时，y2=13
所以△ABF1的面积：S△ABF1=S△AF1F2+S△BF1F2=12|F1F2|•|y1|+12|F1F2|•|y2|=12×2×1+12×2×13=43（9分）
（3）过原点的直线L与椭圆x22+y2=1相交的两点M，N关于坐标原点对称，
设M（x0，y0），N（-x0，-y0），P（x，y），
∵M，N，P在椭圆上，
∴x202+y20=1，x22+y2=1
两式相减得y2-y20x2-x20=-12
又∵kPN=y-y0x-x0，kPN=y+y0x+x0，
∴kPN•kPN=y-y0x-x0•y+y0x+x0=y2-y20x2-x20=-12
故：kPN•kPN的值与点P的位置无关，同时与直线l无关．（14分）