Question

求极限：当n→无穷，1/（n2+n+1）+2/（n2+n+2）+……+n/（n2+n+n）等于？ 注：n2=n的平方

求极限：
当n→无穷，
1/（n2+n+1）+2/（n2+n+2）+……+n/（n2+n+n）等于？

注：n2=n的平方

Answer 1

1/2.用夹逼定理。
该等式肯定小于1+2+......+n/n2+n+1。分母变小了。即把所有分母换成第一项的分母，分子不变。
同时肯定大于1+2+......+n/n2+n+n.分母变大了。即把所有分母换成最后一项的分母，分子不变。
但是二者的极限都是1/2.所以最后结果为1/2。

Answer 2

求极限：当n→无穷，1/(n^2+n+1)+2/(n^2+n+2)+...+n/(n^2+n+n)等于？

极限：当n→无穷，
1/(n^2+n+1)+2/(n^2+n+2)+...+n/(n^2+n+n)
≤1/(n^2+n+1)+2/(n^2+n+1)+...+n/(n^2+n+1)
=(1+2+...+n)/(n^2+n+1)
=(1/2)(n+1)n/(n^2+n+1)
-> 1/2

1/(n^2+n+1)+2/(n^2+n+2)+...+n/(n^2+n+n)
≥1/(n^2+n+n)+2/(n^2+n+n)+...+n/(n^2+n+n)
= (1+2+...+n)/[(n^2)+2n]
= (1/2)(n+1)n/[(n^2)+2n]
-> 1/2

所以，
当n→无穷，1/(n^2+n+1)+2/(n^2+n+2)+...+n/(n^2+n+n)
=1/2