Question

怎么求隐函数

Answer 1

函数都是如y=f(x)形式，但还有一部分的函数自变量与因变量是由一个方程所决定的，通常称之为隐函数

隐函数必须确定出方程的范围才有意义，但并不是所有的方程都能确定出一个隐函数

于是我们得出一个隐函数存在唯一性定理：

如果这四个条件都满足，我们就可以运用隐函数存在可微性定理

看到这儿大家可能还是有点不懂，我们再给大家举一个例子吧，看完这个例子之后你应该就会有所了解

解析如下：

既然我们已经知道了如何判断一个隐函数是否存在唯一，那接下来就让我们一起来看看如何求隐函数的偏导吧

Answer 2

对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。　　隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：　　隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过（式中F'yF'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。

　设方程P(x,y)=0确定y是x的函数,并且可导.现在可以利用复合函数求导公式可求出隐函数y对x的导数.　　例1方程x2+y2-r2=0确定了一个以x为自变量,以y为因变量的数,为了求y对x的导数,将上式两边逐项对x求导,并将y2看作x的复合函数,则有　　(x2)+(y2)-(r2)=0,　　即2x+2y=0,　　于是得.　　从上例可以看到,在等式两边逐项对自变量求导数,即可得到一个包含y￠的一次方程,解出y￠,即为隐函数的导数.　　例2求由方程y2=2px所确定的隐函数y=f(x)的导数.　　解:将方程两边同时对x求导,得　　2yy￠=2p,　　解出y￠即得　　.　　例3求由方程y=xlny所确定的隐函数y=f(x)的导数.　　解:将方程两边同时对x求导,得　　y￠=lny+x××y￠,　　解出y￠即得.　　例4由方程x2+xy+y2=4确定y是x的函数,求其曲线上点(2,-2)处的切线方程.　　解:将方程两边同时对x求导,得　　2x+y+xy￠+2yy￠=0,　　解出y￠即得　　.　　所求切线的斜率为　　k=y￠|x=2,y=-2=1,　　于是所求切线为　　y-(-2)=?×(x-2),即y=x-4.

Answer 3