Question

已知:a > 0, b > 0 且 a+b=1. 求证:a^a * b^b>=1/2

Answer 1

要证(a^a)*(b^b)>=1/2
两边取对数即证:alna+blnb>=ln(1/2)
构造函数f(x)=xlnx
f''(x)=1/x>0所以f(x)下凸，由下凸函数的性质(即琴生不等式)得
[f(a)+f(b)]/2>=f[(a+b)/2]
即(alna+blnb)/2>(1/2)*ln(1/2)于是得证。
推广到n元也是同样的思路，ai>0,i=1,2,3....且a1+a2+...an=1
证:(a1^a1)(a2^a2)...(an^an)>=1/n
取对数即证a1lna+a2lna2+....anlnan>=ln(1/n)
构造f(x)=xlnx因为f(x)下凸
于是[f(a1)+....f(an)]/n>=f[(a1+a2+...an)/n]=(1/n)*ln(1/n)
所以f(a1)+f(a2)+.....f(an)>=ln(1/n)
所以得证，和2元形式的思路一模一样。