Question

帮忙做一下因式分解。

（y^2-z^2）(1+xy)(1+xz)+(z^2-x^2)(1+yz)(1+yx)+(x^2-y^2)(1+zx)(1+zy) 就是这道题，谢谢~

Answer 1

易知原式为非齐次轮换式，令y=z知原式=0
根据轮换对称性知z-x,x-y也为原式的因式
用原式除以(x-y)(y-z)(z-x)所得的应是一个六次非齐次轮换式，不妨设
(y^2-z^2)(1+xy)(1+xz)+(z^2-x^2)(1+yz)(1+yx)+(x^2-y^2)(1+zx)(1+zy)
=(x-y)(y-z)(z-x)[a(x^3+y^3+z^3)+b(x^2*y+y^2*z+z^2*x)
+c(x*y^2+y*z^2+z*x^2)+d(x^2+y^2+z^2)+e(xy+yz+xz)+fxyz+g(x+y+z)+h]
其中a,b,c,d,e,f,g,h为待定系数
因原式的单个未知数的次数最高为3次，所以知方括号内的单个未知数的
次数最多不超过1次，所以a=b=c=d=0
比较x^2,y^2,z^2的系数，知其都为0，所以h=0
又易知原式拆分后每一项的次数都为偶次幂，所以e=0
接下来任意赋值（过程略）可知f=1,g=1
所以原式=(x-y)(y-z)(z-x)(xyz+x+y+z)