Question

正项数列 的前n项和为 ，且 。（Ⅰ）证明数列 为等差数列并求其通项公

正项数列 的前n项和为 ，且 。 （Ⅰ）证明数列 为等差数列并求其通项公式； （2）设 ，数列 的前n项和为 ，证明： 。

Answer 1

正项数列
的前n项和为
，且
。
（Ⅰ）证明数列
为等差数列并求其通项公式；
（2）设
，数列
的前n项和为
，证明：
。
（Ⅰ）详见解析，
；（Ⅱ）详见解析．
试题分析：（Ⅰ）证明数列
为等差数列并求其通项公式
，由已知
，这是由
求
，可根据
来求，因此当
时，
，解得
，当
时，
，整理得
，从而得数列
是首项为1，公差为2的等差数列，可写出数列
的通项公式；（Ⅱ）设
，数列
的前n项和为
，证明：
，首先求出
的通项公式，
，分母是等差数列连续两项积，符合利用拆项相消法求和，即
，这样求得和
，利用数列的单调性，可证结论．
试题解析：（Ⅰ）由
得：当
时，
，得
，
当
时，
，
整理得
，又
为正项数列，
故
，（
），因此数列
是首项为1，公差为2的等差数列，
。（6分）
（Ⅱ）
，
∴
，
∵
，∴
，（8分）
，
∴数列
是一个递增数列 ∴
，
综上所述，
。（12分）