Question

已知f(x)=ax +a-x(a＞0)且≠1判断f(x)在(0,+∞)上的单调性，并用定义加以证明

已知f(x)等于a 的 次方加上a 的负x次方，判断f(x)在(0,+∞)上的单调性，并用定义加以证明

Answer 1

设x2>x1>0
f(x2)-f(x1)=a^x2+a^(-x2)-(a^x1+a^(-x1))
=(a^x2-a^x1)+a^(-x2)-a^(-x1)
=(a^x2-a^x1)+(a^x1-a^x2)/(a^x1*a^x2)
=(a^x2-a^x1)(1-(1/(a^(x1+x2))))
讨论，若a〉1
a^x是增函数，因为x2>x1>0，所以a^x2-a^x1>0，
且，a^(x1+x2)>1，1/(a^(x1+x2))<1，1-(1/(a^(x1+x2)))>0，
所以，f(x2)-f(x1)=(a^x2-a^x1)(1-(1/(a^(x1+x2))))>0，函数递增
若0<a<1
a^x是减函数，因为x2>x1>0，所以a^x2-a^x1<0，
且，a^(x1+x2)<1，1/(a^(x1+x2))>1，1-(1/(a^(x1+x2)))<0，
所以，f(x2)-f(x1)=(a^x2-a^x1)(1-(1/(a^(x1+x2))))>0，函数递增
所以函数递增