Question

如图,ab为○o的直径,点c在○o上,且tan∠abc=2

如图,AB为⊙O直径,点C在⊙O上,且 AC=BC=2,将一块等腰三角形的直角顶点放在圆心O处之后,将此三角形绕点O旋转,三角形的两直角边分别交射线AC,CB于D,E两点.图①,②,③是旋转三角形得到的图形中的3种情况.
请你回答下列问题:
(1)三角形绕点O旋转,观察线段OD和OE之间有什么数量关系 并结合图②加以证明;
(2)三角形绕点O旋转,是否能使△OBE为等腰三角形 若能,写出△OBE为等腰三角形的所有情况中CE的长,若不能,请说明理由;
(3)如图④,若将三角形的直角顶点移到AB上的点M处,且AM:MB=1:3,试问线段MD和ME之间有什么数量关系 并结合图④加以证明
只要第三问答案

Answer 1

（1）答：OD=OE．
证明：
连结OC
∵ AB为⊙O直径,
∴ ∠ACB＝90°．
∵ AC=BC,
∴△ACB是等腰直角三角形．
∵ AO＝BO,
∴ CO⊥AB,∠ACO＝1/2∠ACB＝45°．
∴ ∠ACO＝∠B＝45°．
又 ∠DOC＋∠COE＝∠BOE＋∠EOC＝90°,
∴ ∠DOC＝∠BOE．
∵ OC=OB,
∴ △OCD≌△OBE．
∴ OD＝OE．
（2）
共有四种情况,
① 当点C与点E重合,即CE＝0时,OE＝OB；
② 当点E为CB中点,即CE＝1时,OE＝BE；
③ 当点E在线段CB上,且CE＝2－√2时,OB＝EB；
④ 当E在CB的延长线上,且CE＝2＋√2时,OB＝EB．
（3）答：MD∶ME＝1∶3 ．
证明：
分别过点M作MF⊥AC、MH⊥BC,垂足分别是F、H
∵ ∠A＝∠B＝45°,
∴ Rt△AFM∽Rt△BHM．
∴ FM／HM＝AM／BM＝1/3．
∵ ∠C＝90°,
∴ ∠FMH＝90°．
∴ ∠FMD＋∠DMH＝∠EMH＋∠HMD=90°．
∴ ∠FMD＝∠EMH．
∴ Rt△FMD∽Rt△HME．
∴ MD/ME=MF/HM=1/3．