若二次函数y=x2-2ax-1(a为常数)的图像在-2与x轴有两个交点
已知二次函数y=x2-ax+a-2.（1）求证：不论a为何常数,此二次函数的图像于x轴必有两个交点；（2）求a为何止时,这两个交点距离最小?...
已知二次函数y=x2-ax+a-2.
（1）求证：不论a为何常数,此二次函数的图像于x轴必有两个交点；
（2）求a为何止时,这两个交点距离最小? 展开
（1）求证：不论a为何常数,此二次函数的图像于x轴必有两个交点；
（2）求a为何止时,这两个交点距离最小? 展开
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(1)
△=b^2-4ac=(-a)^2-4*1*(a-2)
=a^2-4a+8
=a^2-4a+4+4
=(a-2)^2+4>0
所以不论a为何常数,此二次函数的图像于x轴必有两个交点
要使两个交点距离最小
设x1,x2是二次函数x2-ax+a-2=0的两个根,
即是证|x1-x2|最小
(|x1-x2|)^2=x1^2-2x1x2+x2^2
=x1^2+2x1x2+x2^2-4x1x2
=(x1+x2)^2-4x1x2
=a^2-4*(a-2)
=a^2-4a+8
=a^2-4a+4+4
=(a-2)^2+4
则当a=2时,|x1-x2|最小,|x1-x2|=√4=2
△=b^2-4ac=(-a)^2-4*1*(a-2)
=a^2-4a+8
=a^2-4a+4+4
=(a-2)^2+4>0
所以不论a为何常数,此二次函数的图像于x轴必有两个交点
要使两个交点距离最小
设x1,x2是二次函数x2-ax+a-2=0的两个根,
即是证|x1-x2|最小
(|x1-x2|)^2=x1^2-2x1x2+x2^2
=x1^2+2x1x2+x2^2-4x1x2
=(x1+x2)^2-4x1x2
=a^2-4*(a-2)
=a^2-4a+8
=a^2-4a+4+4
=(a-2)^2+4
则当a=2时,|x1-x2|最小,|x1-x2|=√4=2
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