定积分的题？ 20
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因为0<x<1,则
∫(0,1) f(t)dt =∫(0,x) f(t)dt +∫(x,1) f(t)dt
则：∫(0,x) f(t)dt -x∫(0,1) f(t)dt
=∫(0,x) f(t)dt-x∫(0,x) f(t)dt -x∫(x,1) f(t)dt
=(1-x)∫(0,x) f(t)dt-x∫(x,1) f(t)dt
由积分中值定理：
∫(0,x) f(t)dt=f(δ1）*x ,δ1∈（0，x)
∫(x,1) f(t)dt=f(δ2）*x , δ2∈（x，1)
则原式
=(1-x)*x*f(δ1）-x*(1-x) f(δ2)
=(1-x)*x*[f(δ1）-f(δ2)]
又因为f(x)在【0，1】上单减，
则又因δ1<δ2, 则f(δ1）>=f(δ2）
所以：(1-x)*x*[f(δ1）-f(δ2)]>=0
则∫(0,x) f(t)dt >=x∫(0,1) f(t)dt
∫(0,1) f(t)dt =∫(0,x) f(t)dt +∫(x,1) f(t)dt
则：∫(0,x) f(t)dt -x∫(0,1) f(t)dt
=∫(0,x) f(t)dt-x∫(0,x) f(t)dt -x∫(x,1) f(t)dt
=(1-x)∫(0,x) f(t)dt-x∫(x,1) f(t)dt
由积分中值定理：
∫(0,x) f(t)dt=f(δ1）*x ,δ1∈（0，x)
∫(x,1) f(t)dt=f(δ2）*x , δ2∈（x，1)
则原式
=(1-x)*x*f(δ1）-x*(1-x) f(δ2)
=(1-x)*x*[f(δ1）-f(δ2)]
又因为f(x)在【0，1】上单减，
则又因δ1<δ2, 则f(δ1）>=f(δ2）
所以：(1-x)*x*[f(δ1）-f(δ2)]>=0
则∫(0,x) f(t)dt >=x∫(0,1) f(t)dt
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北京埃德思远电气技术咨询有限公司
2023-07-25 广告
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如下图所示，用中值定理证明
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