Question

问一道线性代数的证明题

关于这道题的必要性的证明我看不懂求解释谢谢- -

Answer 1

首先如果一个矩阵A的秩r(A)=r，那么这个矩阵中任意r+1阶子式都等于0，这是一个定理，书上有证明，大致解释一下就是，如果矩阵的秩是r，那么对应的向量组就最多有r个线性无关的向量，所以r+1个向量一定线性相关，因此在r+1阶子式中的向量组一定线性相关，行列式等于0。这样我们得到aklaij=ailakj，现在我们来说一下这个题要证什么，由于矩阵A是给定的，所以其元素aij也都是确定的，我们只要能利用这些元素，让它们构成的列向量和行向量相乘等于矩阵A，就完成了证明。为此取A中第l列元素构成的列向量和第k行元素构成的行向量，让它们相乘，再利用刚才的等式aklaij=ailakj，就得到一个m*n的矩阵(aklaij)，只有这里k和l是刚才就取定的，是两个常数，因此akl就也是一个常数，而i,j是变量，aij代表矩阵中各元素，现在用一个常数乘矩阵中各元素，按照矩阵乘法的定义，这个常数可以提到矩阵外，即矩阵(aklaij)=akl*矩阵aij，而矩阵aij就是A
，因此只要令刚才所选定的列向量每列都除akl为新的列向量，那么这个列向量和刚才的行向量相乘就得矩阵A，我们找到了所需的两个向量，也就完成了证明。有不明白的地方欢迎追问。