Question

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+2n（n∈N*）．（1）证明数列...

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+2n（n∈N*）． （1）证明数列{an2n}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式an； （2）求等差数列{bn}（n∈N*），使b1Cn0+b2Cn1+b3Cn2+…+bn+1Cnn=an+1对n∈N*都成立； （3）令cn=nbn（n∈N*），是否存在正常数M，使c1a1+c2a2+c3a3+…+cnan＜M对n∈N*恒成立，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）∵a1=1，an+1=2an+2n（n∈N*），∴an+12n+1=an2n+12，an+12n+1-an2n=12．…（3分）
∴数列{an2n}是以a12为首项，公差为12的等差数列，且an2n=a12+12(n-1)．…（5分）
∴an=n•2n-1（n∈N*）．…（6分）
（2）设等差数列{bn}的首项为b1，公差为d，则bn=b1+（n-1）d（n∈N*）．…（7分）
考察等差数列，易知：b1+bn+1=b2+bn=b3+bn-1=…=bn+1+b1．
又 b1Cn0+b2Cn1+b3Cn2+…+bn+1Cnn=an+1，利用加法交换律把此等式变为bn+1Cnn+bnCnn-1+bn-1Cnn-2+…+b1Cn0=an+1，
两式相加，利用组合数的性质Cnm=Cnn-m化简，得（b1+bn+1）（Cn0+Cn1+…+Cnn）=2an+1，即b1+bn+1=2n+2．…（10分）
再分别令n=1，n=2，得b1+b2=4b1+b3=6，进一步可得b1=1d=2．…（11分）
因此，满足题设的等差数列{bn}的通项公式为bn=2n-1（n∈N*）．…（12分）
（3）结论：
存在正常数M（只要M＞6即可）使得c1a1+c2a2+c3a3+…+cnan＜M对n∈N*恒成立．（13分）
证明　由（2）知，bn=2n-1，于是，cn=n（2n-1），cnan=n(2n-1)n•2n-1=2n-12n-1．…（14分）
记A=c1a1+c2a2+…+cnan，则A=120+321+522+…+2n-32n-2+2n-12n-1，12A=121+322+523+…+2n-32n-1+2n-12n．此两式相差，得12A=120+221+222+223+…+22n-1-2n-12n．进一步有A=6-12n-3-2n-12n-1＜6．…（18分）
所以，当且仅当正常数M＞6时，c1a1+c2a2+c3a3+…+cnan＜M对n∈N*恒成立．