Question

a1=2,an=2-1/an-1(n≥2),令bn=1/an-1

已知数列{an}满足a1=2,an=2-1/a(n-1)(n≥2),令bn=1/(an-1) 求证:数列{bn}是等差数列

Answer 1

证:
an=2-1/a(n-1)
an
-1=1-1/a(n-1)=[a(n-1)-1]/a(n-1)
1/(an
-1)=a(n-1)/[a(n-1)-1]=[a(n-1)-1+1]/[a(n-1)-1]=1+1/[a(n-1)-1]
1/(an
-1)-1/[a(n-1)-1]=1，为定值。
1/(a1-1)=1/(2-1)=1
数列{1/(an
-1)}是以1为首项，1为公差的等差数列。
又bn=1/(an
-1)，数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列。
b1=1/(a1
-1)=1
bn=1+(n-1)=n
数列{bn}的通项公式为bn=n。