Question

证明f(x1+x2)+f(0)<f(x1)+f(x2)，已知f（x）二阶导数小于零，x1，x2大于零

Answer 1

简单计算一下即可，详情如图所示

Answer 2

已知：f
''
(x)
<0
，x1
,
x2
>
0
求证：f(x1
+
x2)
+
f(0)
<
f(x1)
+
f(x2)
证明：设
d^2
f(x)
/
d
x^2
=
a
(a
<
0)
(1)
解出二阶微分方程(1)的解为：
f(x)
=
a
x^2
/
2
+
Cx
+
D
(2)
式中：C、D为两个积分常数，可由f(x)的初值条件确定。
本题的一个初值是f(0)，即当
x
=
0时，f(0)
=
D，由此(2)式变成：
f(x)
=
a
x^2
/
2
+
Cx
+
f(0)
(3)
因为题中没有给出
f
'(0)
的信息，定不出C的值。
下面计算：f(x1
+
x2)
=
0.5
a
(x1
+
x2)^2
+
C(x1
+
x2)
+
f(0)
(4)
再
计
算：f(x1)
+
f(x2)
=
[0.5
a
x1^2
+
C
x1
+
f(0)]
+
+[0.5
a
x2^2
+
C
x2
+
f(0)]
=
0.5
a(x1^2
+
x2^2)
+
C(x1
+
x2)
+
2f(0)
(5)
(4)
+
f(0)
-
(5)：即，
f(x1
+
x2)
+
f(0)
-
[f(x1)
+
f(x2)
]
=
0.5
a
(x1
+
x2)^2
+
C(x1
+
x2)
+
2f(0)
-
-
[
0.5
a(x1^2
+
x2^2)
+
C(x1
+
x2)
+
2f(0)]
=
0.5
a
[
(x1
+
x2)^2
-
(x1^2
+
x2^2)]
=
0.5
a
(2
x1
x2)
=
ax1
x2
<
0
(6)
这是因为：x1
,
x2
>
0，a
<
0.
因此证明了：
f(x1
+
x2)
+
f(0)
<
f(x1)
+
f(x2)