Question

求由方程e^y+xy-e=0所确定的隐函数的导数dy/dx.说明为什么要那样求,...

求由方程e^y+xy-e=0所确定的隐函数的导数dy/dx.说明为什么要那样求, 求由方程e^y+xy-e=0所确定的隐函数的导数dy/dx. 说明为什么要那样求,

Answer 1

求导定义：函数y=f(x)的导数的原始定义为y'=f'(x)=lim(Δx→0)|(Δy/Δx)=lim(Δx→0)|Δy/lim(Δx→0)|Δx=dy/dx,其中Δy=f(x+Δx)-f(x)；实数C的导数(C)'=0导数的四则运算法则：u=u(x),v=v(x)；加减法原则：(u±v)'=u'±v'证明：(u±v)'=lim(Δx→0)|(Δ(u±v)/Δx)=d(u±v)/dx,其中Δ(u±v)=u(x+Δx)±v(x+Δx)-u(x)±v(x)=[u(x+Δx)-u(x)]±[v(x+Δx)-v(x)]=Δu±Δv,则(u±v)'=lim(Δx→0)|(Δ(u±v)/Δx)=lim(Δx→0)|(Δu/Δx)±lim(Δx→0)|(Δv/Δx)=(du/dx)±(dv/dx)=u'±v'乘法法则(uv)'=u'v+uv'证明：则(uv)'=lim(Δx→0)|(Δ(uv)/Δx)=d(uv)/dx,其中Δ(uv)=u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x)=[u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x+Δx)]+[u(x)v(x+Δx)-u(x)v(x)]=[u(x+Δx)-u(x)]v(x+Δx)]+u(x)[v(x+Δx)-v(x)]=Δu×v(x+Δx)]+u(x)×Δv则(uv)'=lim(Δx→0)|[(Δu×v(x+Δx)]+u(x)×Δv)/Δx]=lim(Δx→0)|[Δu×v(x+Δx)/Δx]+lim(Δx→0)|[u(x)×Δv/Δx]=lim(Δx→0)|[Δu×v(x+Δx)/Δx]×lim(Δx→0)|v(x+Δx)+lim(Δx→0)|u(x)×lim(Δx→0)|[u(x)Δv/Δx]=(du/dx)vx+u(x)(dv/dx)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)除法法则：(u/v)'=(u'v-uv')/v²证明：与乘法法则的证法类似,此处略!复合函数的求导法则：y=f(u)=f(u(x)),u=u(x),则y'=f'(u(x))×u'(x)简证：y=f(u)=f(u(x)),u=u(x),则y'=lim(Δx→0)|(Δy/Δx)=lim(Δx→0)|[(Δy/Δu)×(Δu/Δx)]=lim(Δx→0)|(Δy/Δu)×lim(Δx→0)|(Δu/Δx)=(dy/du)×(du/dx)=f'(u(x))×u'(x)e^y+xy-e=0——原隐函数,其中y=f(x)两边求导得(e^y+xy-e)'=0'左边先由求导的加减法原则可知(e^y+xy-e)'=(e^y)'+(xy)'-(e)',由常数的导数为0可知原隐函数两边求导后为：(e^y)'+(xy)'=0由复合函数的导数可知(e^y)'=e^y×y',其中(e^x)'=e^x；由求导的乘法法则可知(xy)'=y+xy',即原隐函数的导数为e^y×y'+y+xy'=0（其中y'=dy/dx）接下来求函数y的过程就是传说中的求解微分方程,这个求解通常都比较难,而且往往是非常难!