Question

e的x次方减1除以x的导数

问一个求极限问题
e的X次方减一,除以X的极限是多少
可以说下大约过程吗
im(x→0)(e^x-1)/x
E的X次方减1,除以X
泰勒展开不懂.知道怎么用罗必达定理解,
我想知道怎么直接去解,不用求导的方法,

Answer 1

方法一：
在x＝0处由泰勒展开得到：f(x)＝e^x＝f(0)＋f’(0)x＋f’’(ξx)x^2＝1＋x＋f’’(ξx)x^2,0＜ξ＜1
所以
lim(x→0)(e^x-1)/x
＝lim(x→0)(1＋x＋f’’(ξx)x^2-1)/x＝lim(x→0)(x＋f’’(ξx)x^2)/x＝lim(x→0)(1＋f’’(ξx)x)＝1
方法二：
直接用洛必达法则（当x→0时,分子分母都趋向于0）：
分子分母都求一阶导数(e^x－1)’=e^x,(x)’=1,所以
lim(x→0)(e^x-1)/x＝lim(x→0) e^x＝1