Question

矩阵ab=ba的充要条件是什么？

Answer 1

AB是对称矩阵，则AB=BA的充要条件是A，B都为对称矩阵。

事实上，若A，B都为对称矩阵。则：

(AB)T=BTAT=BA

因为AB是对称矩阵，所以(AB)T=AB

所以AB=BA

反之，若AB=BA

则(AB)T=(BA)T

AB=ATBT

故A=AT，B=BT

两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

基本性质：

1、对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。

2、A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

3、对角矩阵都是对称矩阵。

4、两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

5、每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。

6、若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Symmetric矩阵。

7、一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。